Zachovávanie inverzov a NP ešte neimplikuje homomorfizmus

[Martin Sleziak]

V niektorých odovzdaných úlohách som našiel pokusy overiť, že $f$ je homomorfizmus, takým spôsobom, že ste overili, že sa zachovávajú inverzy a neutrálny prvok. T.j. že máte zobrazenie $f\colon G\to H$ také, že$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\Zobrto}[3]{#1\colon#2\mapsto#3}\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
\begin{gather*}
f(1_G)=1_H\\
(\forall x\in G) f(\inv x)=\inv{f(x)}
\end{gather*}
(T.j. $f$ zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.)
Je pravda, že každý grupový homomorfizmus spĺňa tieto dve vlastnosti. (Toto je vlastne veta 1.27 z prednášky.)
Ale obrátene to neplatí - ak platia tieto dve vlastnosti, ešte $f$ nemusí byť homomorfizmus.

Môžete sa skúsiť zamyslieť nad tým, či viete nájsť nejaké kontrapríklady ukazujúce, že to neplatí. (A samozrejme, ak nejaké pekné príklady navrhnete, tak ich môžete ukázať ostatným kolegom napríklad aj tu na fóre.)

Ja tu nejaké príklady napíšem. Všetky budú skryté - nech pre ľudí, ktorí sa nad tým chcú radšej zamyslieť sami, neprezradím rovno riešenie. (Je možné, že tu píšem veci, ktoré sú veľmi jednoduché. Ale keď sa takéto vyskytlo - dokonca viac než v jednej odozvdanej úlohe - tak som si povedal, že sa to oplatí aj tak.)

V úlohe, kde sa takéto niečo vyskytlo ako argument, išlo v skutočnosti o to, či máme izomorfizmus. Takže nás o čosi viac budú zaujímať bijektívne príklady.

Všetky príklady, ktoré spomeniem, sa dajú nájsť aj tu: If $f$ preserves identity and inverses, is it necessarily a group homomorphism?. (Keď som opravoval d.ú., tak som si skúsil premyslieť nejaké kontrapríklady - ale skúsili som sa opýtať aj tu, či niekto nenavrhne nejaké, ktoré by boli obzvlášť pekné.)

Nie všetky z nich som rozpísal úplne detailne - stále tam zostali nejaké drobnosti na rozmyslenie aj pre vás.

Drobný všeobecný hint:

Spoiler:

V princípe by nemalo byť príliš ťažké prísť na nejaké kontrapríklady sa dajú nájsť, ak si človek uvedomí, že tieto podmienky mi nejako obmedzujú kam sa môžu zobraziť prvky $x$ a $\inv x$. Ale ak si zoberiem $y\notin\{1_G,x,\inv x\}$, tak na hodnotu pre $f(y)$ vlastne nemám žiadne obmedzenia.

Myslím si, že z hintu, ktorý som uviedol vyššie, by ste mali byť schopní nájsť kopec ďalších príkladov. (Hlavne ak si pozriete niektoré z príkladov uvedených nižšie, tak nájsť nejaké ďalšie by malo už ísť ľahko.)

[Martin Sleziak]

Malé grupy$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\Zobrto}[3]{#1\colon#2\mapsto#3}\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$

Môžeme vyskúšať nejaké malé grupy, ktoré sme stretli, či tam nenájdeme taký príklad.
Stačí nie moc veľká grupa.

Spoiler:

Vedeli by ste nájsť zobrazenie $\Zobr f{\Z_5}{\Z_5}$, ktoré je kontrapríkladom?
Nemalo by to byť moc ťažké.

Spoiler:

Stačí si uvedomiť, že máme predpísané kam sa zobrazí nula. Ak si zvolíme $f(1)$, tak tým máme jednoznačne určené aj $f(4)$. Ak si zvolíme $f(2)$, tak tým je jednoznačne určené $f(3)$. Skúsme si teda iba vhodne zvoliť $f(1)$ a $f(2)$; ostatné hodnoty dopočítame tak, aby boli splnené podmienky o inverzoch.
Napríklad:
\begin{gather*}
\Zobrto f00\\
\Zobrto f11\\
\Zobrto f44\\
\Zobrto f23\\
\Zobrto f32\\
\end{gather*}
Toto zobrazenie nie je homomorfizmus.

Väčšie grupy
Môžeme nájsť aj väčšie príklady.

Spoiler:

Podarilo by sa vám to napríklad pre $(\Z,+)$?

Spoiler:

Vlastne iba chceme aby platilo $f(-x)=-f(x)$.
T.j. $f(1), f(2), f(3), \dots$ si môžeme zvoliť. A doplníme hodnoty $f(-1), f(-2), f(-3),\dots$ na základe uvedenej podmienky.
Stačí si ich povyberať tak, aby $f$ nebol homomorfizmus.

Nekomutatívny príklad

Krátky hint:

Spoiler:

Pozrime sa na $x\mapsto\inv x$ ako zobrazenie $G\to G$.

Detailnejšie riešenie:

Spoiler:

Nech $G$ je ľubovoľná nekomutatívna grupa.
Definujme $\Zobr fGG$ predpisom
$$f(x)=\inv x.$$
Potom platí $f(1_G)=1_G$ a $f(\inv x)=\inv{(\inv x)} = \inv f(x)$.

Takéto zobrazenie teda spĺňa obe uvedené podmienky.
Ak však grupa $G$ nie je komutatívna, tak to nebude homomorfizmus.
Vedeli by ste si ukázať prečo to platí?
EDIT: Medzičasom sa takéto niečo vyskytlo aj v tomto topicu: viewtopic.php?t=1903

Spoiler:

Ak máme nejaké dva prvky také, že $x\cdot y\ne y\cdot x$, tak máme
Potom dostaneme
$$f(x\cdot y)=\inv{(x\cdot y)}\ne\inv{(y\cdot x)}=f(y\cdot x).$$
(Využili sme, že ak sa líšia nejaké dva prvky z $G$, tak aj ich inverzy musia byť rôzne.)

To isté by sme mohli zdôvodniť aj tak, že
$$f(x\cdot y)=\inv{(x\cdot y)}=\inv y\cdot\inv x\ne\inv x\cdot\inv y=\inv{(y\cdot x)}=f(y\cdot x).$$
Ak by sme chceli použiť ako argument toto, tak ešte musíme nejako vysvetliť, že si vieme vybrať $x$, $y$ tak, aby platilo $\inv y\cdot\inv x\ne\inv x\cdot\inv y$.

Tento príklad úzko súvisí s opačnou grupou, ktorú sme spomínali tu: viewtopic.php?t=1727
Veľmi podobné zdôvodnenie by sa dalo použiť na dôkaz, že ak $G$ nie je komutatívna, tak $\Zobr{id_G}G{G^{op}}$ spĺňa uvedené podmienky, ale nie je to homomorfizmuys.

Veľa samoinverzných

Ak by sme mali grupu $G$, kde pre každý prvok platí $x=\inv x$, tak podmienka o inverzných prvkoch vlastne hovorí, že $f(x)=f(x)$.
Potom každé zobrazenie $\Zobr fGG$, ktoré zobrazí neutrálny prvok na neutrálny, spĺňa uvedenú podmienku.
Vedeli by ste nájsť nejaké grupy, kde každý prvok je sám k sebe inverzný?

Spoiler:

Toto spĺňajú napríklad grupy $\Z_2, \Z_2\times\Z_2, \Z_2\times\Z_2\times\Z_2,\dots$

Viete pre niektorú z tých grúp nájsť vhodné $f$?

Spoiler:

Ak si zoberieme $G=\Z_2\times\Z_2\times\Z_2$ a zobrazenie $\Zobr fGG$ také, že
\begin{gather*}
f(0,0,0)=(0,0,0)\\
f(1,0,0)=(1,0,0)\\
f(0,1,0)=(0,1,0)\\
f(1,1,0)=(1,0,1)\\
\end{gather*}
a ostatné hodnoty zvolíme ľubovoľne, tak dostaneme hľadaný kontrapríklad.
Dokonca môžeme ostatné hodnoty navoliť tak, že dostaneme bijekciu $G\to G$.

Naschvál som zobral súčin troch kópií $\Z_2$; ak to isté vyskúšate pre $G=\Z_2$ alebo $G=\Z_2\times\Z_2$, tak sa vám nepodarí nájsť bijekciu $G\to G$, ktorá by zachovávala NP, IP a nebola izomorfizmom.