Úloha 5.4.5 - riešenie
Posted: Mon Dec 13, 2021 9:15 pm
Zadanie: Dokážte, alebo vyvráťte nasledujúce tvrdenie: Ak $A, B$ sú štvorcové matice
typu $n × n$ a $A^2 = B^2$, tak $A = B$ alebo $A = −B$.
Riešenie: Tvrdenie neplatí. Nech $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}$. Potom $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 4& 2 + 2\\2 + 2 & 1 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5& 4\\4 & 5\end{pmatrix}$ a $B^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 1 & 2 + 2\\2 + 2 & 4 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5& 4\\4 & 5\end{pmatrix}$. Teda $A^2 = B^2$, ale $ A \not = B$, ani $A \not = -B$.
typu $n × n$ a $A^2 = B^2$, tak $A = B$ alebo $A = −B$.
Riešenie: Tvrdenie neplatí. Nech $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}$. Potom $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 4& 2 + 2\\2 + 2 & 1 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5& 4\\4 & 5\end{pmatrix}$ a $B^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 1 & 2 + 2\\2 + 2 & 4 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5& 4\\4 & 5\end{pmatrix}$. Teda $A^2 = B^2$, ale $ A \not = B$, ani $A \not = -B$.