Úloha 4.2.20: $\mathbb{Z}\times\{0\}$ je prvoideál, ktorý nie je maximálny

[Michal Svec]

Ukážte, že $\mathbb{Z}\times\{0\}$ je ideál v okruhu $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ (s obvyklým sčitovaním a násobením). Ukážte, že je to prvoideál, ktorý nie je maximálny.

Najprv overíme, že $\mathbb{Z}\times\{0\}$ je ideál.
$\forall (a,0),(b,0)\in \mathbb{Z}\times\{0\}:\quad(a,0)-(c,0) \stackrel{?}{\in} \mathbb{Z}\times\{0\}$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\,(\underbrace{a-c}_{\in \mathbb{Z}},0) \in \mathbb{Z}\times\{0\}$

$\forall(a, 0) \in \mathbb{Z} \times \{0\}\;\forall (x,y)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}: \quad (a,0)\cdot(x,y) \stackrel{?}{\in} \mathbb{Z} \times \{0\} \quad\quad (x,y)\cdot(a,0) \stackrel{?}{\in} \mathbb{Z} \times \{0\}$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,(\underbrace{ax}_{\in \mathbb{Z}},0) \in \mathbb{Z}\times\{0\} \quad\quad\quad\;\;\,(\underbrace{xa}_{\in \mathbb{Z}},0) \in \mathbb{Z}\times\{0\}$

Teraz overíme, že $\mathbb{Z}\times\{0\}$ je prvoideál.
$\forall(r,s)(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: \quad (r,s)\cdot(x,y) \in \mathbb{Z}\times\{0\} \quad \stackrel{?}{\implies} \quad (r,s)\in \mathbb{Z}\times\{0\} \vee (x,y) \in \mathbb{Z}\times\{0\}$
Toto platí, ak chceme mať prvok v tvare $(a,0)$ tak aspoň jeden z činiteľov musí mat na druhom mieste $0$, teda musí byť v $\mathbb{Z}\times\{0\}$.

Ostáva nám overiť, že tento prvoideál nie je maximálny.
Zoberme si napríklad $\mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z}$. Podobne ako sme overovali vyššie, vieme overiť, že aj toto je prvoideál. Vieme aj, že množina $\mathbb{Z}\times \{0\} \subset \mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z} \implies \mathbb{Z}\times \{0\}$ nemôže byť maximálny.

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku. (Značím si 1 bod.)
Pri kontrole, že ide o ideál, by sa mala spomenúť aj neprázdnosť - ale tá je v tomto prípade zrejmá.

Rád by som ukázal inú možnosť, ako zdôvodniť to isté. (S využitím nejakých vecí, ktoré sme dokázali o faktorových okruhoch a ideáloch.)

Definujme zobrazenie
\begin{gather*}
f \colon \mathbb Z\times \mathbb Z \to \mathbb Z\\
f(x,y)=y
\end{gather*}

Ľahko sa dá skontrolovať, že zobrazenie $f$ je homomorfizmus.

Spoiler:

\begin{gather*}
f(x,y)+f(x',y') = y+y' = f(x+x',y+y')\\
f(x,y) \cdot f(x',y') = y \cdot y' = f(x \cdot x',y \cdot y')
\end{gather*}

Tiež vidíme, že
$$\operatorname{Ker}f=\mathbb Z\times\{0\}.$$

Teda máme, že $\operatorname{Ker}f$ je ideál.
Pretože $f$ je surjektívne zobrazenie, z vety o izomorfizme dostaneme, že
$$\mathbb Z\times\mathbb Z/\operatorname{Ker}f \cong \mathbb Z.$$
A teraz (na základe viet z prednášky) vieme povedať, že:

• $\mathbb Z$ je obor integrity, a teda $\operatorname{Ker}f$ je prvoideál.
• $\mathbb Z$ nie je pole, a teda $\operatorname{Ker}f$ nie je maximálny ideál.

Starší topic súvisiaci s príkladmi prvoideálov, ktoré nie sú maximálne: viewtopic.php?t=440