Úloha 2.2.13

[Michal Svec]

Dokážte, alebo vyvráťte: Ak $H_1$ je podgrupa $G_1$ a $H_2$ je podgrupa $G_2$, tak
$H_1 \times H_2$ je podgrupa $G_1 \times G_2$.

Použijeme kritérium podgrupy.
1. $H_1 \times H_2 \neq \emptyset$, pretože $H_1$, $H_2$ sú podgrupy a určite sú v nich aspoň neutrálne prvky, teda $(e_{H_1},e_{H_2}) \in H_1 \times H_2$
2. $\forall (h_1, h_2), (h_3, h_4) \in H_1 \times H_2 \implies (h_1h_3, h_2h_4) \in H_1 \times H_2$ (prvky $h_1, h_3 \in H_1$ tak aj $h_1h_3 \in H_1$ pretože $H_1$ je podgrupa a platí v nej uzavretosť, obdobne pre prvky $h_2, h_4$...)
3. $\forall (h_1, h_2)\in H_1\times H_2\quad \implies h_1 \in H_1 \wedge h_2 \in H_2 \implies h_1^{-1} \in H_1 \wedge h_2^{-1} \in H_2$ (pretože sú to podgrupy a sú v nich aj inverzné prvky) $\implies (h_1^{-1}, h_2^{-1})\in H_1\times H_2$

Teda $H_1 \times H_2$ je podgrupa $G_1 \times G_2$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku, značím si 1 bod