msleziak.com

Ak by sme si vybrali takúto tému, tak tá sa dá stručne popísať tak, že sa budeme rozprávať o tom, že aj pre nekonečné množiny sa zmysluplne dá zaviesť nejako pojem veľkosti množiny (budeme používať termína kardinalita). A že aj s takýmito nekonečnými číslami sa dá nejako zmysluplne počítať.

Konkrétne dve množiny by sme považovali za rovnako veľké, ak existuje medzi nimi bijekcia. A zasa pomocou injekcie vieme zadefinovať, čo znamená $|A|\le|B|$.

Napríklad by sme si povedali niečo o tom, že:

• Kardinálne čísla vieme zmysluplne sčitovať, násobiť, umocňovať.
• Pre takéto operácie viacero vecí funguje podobne ako sme zvyknutí z prirodzených čísel - napríklad $(a^b)^c=a^{bc}$. A niektoré veci zasa fungujú trochu inak.
• Pozreli by sme sa na množiny, ktoré majú rovnakú kardinalitu ako $\mathbb N$, t.j. spočítateľné množiny.
• Napríklad $\mathbb Q$ je spočítateľná množina. Zjednotenie spočítatľne veľa spočítateľných množín je spočítateľné.
• Videli by sme, že $|R|>|N|$. T.j. v takomto zmysle je reálnych čísel viac ako prirodzených.
• Ako dôsledok by sme ukázali existenciu transcendentných čísel. (Alebo tiež existenciu funkcií resp. čísel, ktoré nie sú vypočítateľné. Alebo existenciu dĺžok, ktoré sa nedajú skonštruovať pravítkom a kružidlom.)