msleziak.com

$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\absl}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\Ima}{\operatorname{Im}}$
Pre grupu $G=(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ definujme zobrazenie $\Zobr fGG$ predpisom
$$f(x)=\frac{x^2}{\abs{x}^2}.$$
a) Dokážte, že $f$ je homomorfizmus.
b) Zistite, čomu sa rovná $H=\operatorname{Ker} f$.
c) Nájdite podgrupu $G'$ grupy $G$ takú, že $G/H\cong G'$.
Svoje tvrdenia zdôvodnite.

$f$ je homomorfizmus.
\begin{align*}
f(x\cdot y)
&=\frac{x^2\cdot y^2}{\abs{xy}^2}\\
&=\frac{x^2}{\abs{x}^2}\cdot\frac{y^2}{\abs{y}^2}\\
&=f(x)\cdot f(y)
\end{align*}
Explicitne napíšem, že sme tu využívali to, že pre ľubovoľné komplexné čísla platí
\begin{gather*}
(z_1z_2)^2 =z_1^2\cdot z_2^2 \tag{1}\\
\abs{z_1z_2} = \abs{z_1}\cdot\abs{z_2} \tag{2}
\end{gather*}
K týmto vlastnostiam sa ešte vrátim. (Bral som ich ako známe vlastnosti komplexných čísel - ktoré nebolo treba odvodzovať. Samozrejme, ak ste v riešení napísali aj nejaké odvodenie, tak je to úplne v poriadku.)

Čomu sa rovná jadro.
Chceme nájsť všetky komplexné čísla $x$ také, že $f(x)=1$.

Pre $x\in\mathbb C\setminus\{0\}$ máme:
\begin{align*}
\frac{x^2}{\abs{x}^2}=1
&\Leftrightarrow \frac{x}{\abs{x}}=\pm1\\
&\Leftrightarrow x=\pm\abs{x}\\
&\Leftrightarrow x\in\mathbb R\setminus\{0\}
\end{align*}

V prvom kroku sme využili to, že pre komplexné čísla máme $z^2=1$ $\Leftrightarrow$ $z=\pm1$. Drobný komentár k poslednej ekvivalencii:
Absolútna hodnota $\abs x$ ľubovoľného komplexného čísla je vždy nejaké nezáporné reálne číslo. Takže ak $x=\pm\abs{x}$, číslo $x$ musí byť reálne.
Obrátene, ak $x$ je reálne, tak máme dve možnosti: Pre $x\ge0$ platí $x=\abs{x}$. Pre $x\le0$ platí $x=-\abs{x}$.
Navyše sa zaoberáme iba komplexnými číslami rôznymi od nuly - preto tam máme $\mathbb R\setminus\{0\}$.

Veta o izomorfizme.

Z vety o faktorovom izomorfizme vieme, že $G/\Ker f\cong\Ima f$. Posledná časť úlohy je teda v podstate inak sformulovaná otázka, či vieme identifikovať ktoré komplexné čísla patria do množiny $$\Ima f=\{f(x); x\in G.\}$$

Pokúsime sa skontrolovať, že $\Ima f$ je presne jednotková kružnica, t.j.
$$\Ima f=\{y\in\mathbb C; \abs y=1\}.$$
Toto by mohlo byť do istej miery vidno, ak si človek skúsi nakresliť, čo vlastne robí zobrazenie $f$. Ale pokúsme sa napísať aspoň trochu poriadne aj formálny argument.

Chceme overiť dve veci (dve inklúzie resp. dve implikácie): Či pre každý prvok tvaru $y=f(x)$ platí $\abs y=1$. A tiež to, že každé komplexné číslo spĺňajúce $\abs y=1$ vieme dostať ako obraz nejakého prvku.

1. Obrazy ležia na jednotkovej kružnici.
Ak $y=f(x)$ pre nejaké $x$, tak platí
$$\abs y= \absl{\frac{x^2}{\abs{x}^2}}=\frac{\abs{x^2}}{\abs{x}^2}=\frac{\abs{x}^2}{\abs{x}^2}=1.$$

2. Každý prvok jednotkovej kružnice patrí do obrazu.
Ak máme nejaké $y$ také, že $\abs y=1$, znamená to, že
$$y=\cos\varphi+i\sin\varphi$$
pre nejaký uhol $\varphi$.
Potom stačí zobrať bod určený polovičným uhlom, t.j.
$$x=\cos\frac\varphi2+i\sin\frac\varphi2.$$
Pre tento bod máme $\abs x=1$ a $x^2=\cos\varphi+i\sin\varphi$. (Pripomeniem, že umocnenie komplexného čísla na druhú znamená umocniť veľkosť na druhú a zdvojnásobiť uhol.)
T.j. zistili sme, že
$$f(x)=\frac{x^2}{\abs{x}^2}=x^2=y.$$

Výpočty s komplexnými číslami$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\absl}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\Ima}{\operatorname{Im}}$

Sčasti aj preto, že v niektorých odovzdaných úlohách ste pri overení homomorfizmu (alebo pri kontrole čomu sa rovná jadro) robili veci o čosi komplikovanejšie než bolo nutné, sa zastavím pri rovnostiach $(1)$ a $(2)$. (Samozrejme, to neznamená, že by také riešenie bolo nesprávne. Ak však nejakú vec viem urobiť jednoduchšie, tak prečo to nevyužiť.)

Pointa toho, čo sa snažím povedať je, že môže byť jednoduchšie rozdeliť náš problém na menšie časti a využívať veci, ktoré už vieme.
Napríklad odvodenie, že $f(xy)=f(x)f(y)$ bolo pomerne krátke - keďže sme použili tieto dva vzťahy.
Samozrejme mohol by som si napísať $x=a+bi$, $y=c+di$ a začať vytrvalo upravovať oba výrazy - až kým nezistím či vyjde to isté. Ale možno použitím nejakých faktov o komplexných číslach si môžem ušetriť robotu.

Keďže som vzťahy $(1)$ a $(2)$ použil pri overení homomorfizmu, poďme sa pozrieť na to, či je ťažké ich zdôvodniť. (Nejaké ďalšie vlastnosti komplexných čísel som použil pri hľadaní jadra - tie už detailne overovať nebudem.)

Poďme sa najprv pozrieť na túto rovnosť:
$$\abs{z_1z_2} = \abs{z_1}\cdot\abs{z_2} \tag{2}$$
Môžeme sa na ňu pozerať tak, že to vyplýva z toho, ako sa násobia komplexné čísla v goniometrickom tvare - uhly sa sčítajú a veľkosti sa vynásobia. Rovnosť $(2)$ hovorí presne to, že sme vynásobili veľkosti (polomery). Samozrejme, vôbec nezaškodí si vyskúšať, či takéto niečo viem odvodiť pomocou algebraického tvaru komplexného čísla.

Možno o čosi ľahšie sa nám bude pracovať ak budeme overovať takúto rovnosť:
$$\abs{z_1z_2}^2 = \abs{z_1}^2\cdot\abs{z_2}^2.$$
Táto rovnosť je s pôvodnou rovnosťou ekvivalentná. (Overujeme rovnosť nezáporných reálnych čísel - a iba sme umocnili obe strany na druhú.)
Iná alternatíva je najprv overiť nejaké vlastnosti komplexného združovania - konkrétne ukázať, že $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$. A potom už len využiť fakt, že $\abs{z}^2=z\cdot\overline z$. Pozrime sa teda ešte na túto rovnosť:
$$(z_1z_2)^2 =z_1^2\cdot z_2^2 \tag{1}$$

Môžeme ju zdôvodniť tak, že si položíme $z_1=a_1+b_1i$, $z_2=a_2+b_2i$ a chvíľu upravujeme oba výrazy.

Alebo to môžeme skúsiť cez $z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)$, $z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$ a tiež upravovať. (Pritom využijeme to, že veľkosť čísla $z_1z_2$ je rovná $r_1r_2$, čo je presne vzťah $(2)$.)

Ale azda najjednoduchšie je iba si uvedomiť, že toto je vlastnosť, ktorá platí v ľubovoľnom poli. Pýtame sa vlastne na takúto rovnosť:
$$z_1z_2z_1z_2=z_1z_1z_2z_2.$$
Pretože násobenie je komutatívne, poradie môžeme zmeniť úplne ľubovoľne a výsledok bude vždy rovnaký.