msleziak.com

Na fóre sú prepočítané nejaké príklady takéhoto typu - napríklad:
viewtopic.php?t=824
viewtopic.php?t=1414
viewtopic.php?t=1534
viewtopic.php?t=1659

Tento topic som teda otvoril ani nie preto, že by bolo treba pridať ešte jeden riešený príklad - skôr preto, nech môžem napísať nejaké komentáre k veciam, ktoré sa vyskytli v odovzdaných riešeniach.

K časti o vektoroch takých, že $\vec xP=-\vec x$ sa niečo dá pozrieť tu: viewtopic.php?t=1657
(Dalo sa to samozrejme riešiť aj tak, že riešim homogénnu sústavu určenú podmienkou $\vec x(I+P)=\vec 0$ pre maticu, ktorú som vypočítal v prvej časti úlohy. Ale nie je príliš ťažké prísť na to, že všeobecne - pre ľubovoľnú maticu ortogonálnej projekcie - bude mať takáto rovnica iba nulové riešenie.)

Pre daný podpriestor $S$ v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom:
a) Nájdite maticu $P$ ortogonálnej projekcie na $S$.
b) Nájdite všetky vektory $\vec x\in\mathbb R^4$ také, že $\vec xP=-\vec x$.
(Uveďte aj postup resp. zdôvodnenie, ktorým ste sa dostali k~výsledku.)
$$S=[(1,0,2,2),(1,2,0,-2),(2,1,3,2)]$$

Výsledok je:
$$P=\frac16
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 2 & 0 \\
2 & 3 & 1 &-2 \\
2 & 1 & 3 & 2 \\
0 &-2 & 2 & 4 \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac13 & \frac13 & \frac13 & 0 \\
\frac13 & \frac12 & \frac16 &-\frac13 \\
\frac13 & \frac16 & \frac12 & \frac13 \\
0 &-\frac13 & \frac13 & \frac23 \\
\end{pmatrix}
$$
Napíšem stručne niečo aj k výpočtom.

Riešenie

Ak upravíme vektory generujúce $S$, zistíme, že $\dim(S)=1$ a vieme si prečítať aj nejakú bázu pre $S$.
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 0 &-2 \\
2 & 1 & 3 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 2 &-2 &-4 \\
0 & 1 &-1 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 1 &-1 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Jedna možnosť je nájsť bázu pre $S^\bot$ a hľadať maticu $P$ ako maticu lineárneho zobrazenia. (Vieme, že $\vec xP=\vec x$ ak $\vec x\in S$. A tiež to, že $\vec xP=\vec 0$ ak $\vec x\in S^\bot$.

$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 1 &-1 &-2 & 0 & 1 &-1 &-2 \\
-2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim\dots\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac13 & \frac13 & \frac13 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac13 & \frac12 & \frac16 &-\frac13 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \frac13 & \frac16 & \frac12 & \frac13 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 &-\frac13 & \frac13 & \frac23 \\
\end{array}\right)
$
Alebo môžeme skúsiť nájsť nejakú ortonormálnu bázu - k tomu ako nájsť ONB tu nebudem písať detaily.
Potom maticu projekcie vypočítame ako $\vec u_1^T\vec u_1+\vec u_2^T\vec u_2$.

Dajú sa nájsť napríklad takéto ortonormálne bázy:

\begin{align*}
\vec u_1&=\frac1{\sqrt3}(1,1,1,0)\\
\vec u_2&=\frac1{\sqrt6}(0,1,-1,-2)
\end{align*}
Iná ortonormálna báza:
\begin{align*}
\vec u_1&=\frac1{\sqrt9}(1,0,2,2)=\frac13(1,0,2,2)\\
\vec u_2&=\frac1{\sqrt{18}}(2,3,1,-2)=\frac1{3\sqrt{2}}(2,3,1,-2)
\end{align*}
Dokonca sa dalo zbadať, že dva zo zadaných vektorov sú na seba kolmé a dostať sa tak k ortonormálnej báze:
\begin{align*}
\vec u_1&=\frac1{\sqrt9}(1,2,0,-2)\\
\vec u_2&=\frac1{\sqrt{18}}(2,1,3,2)
\end{align*}
Skúška:
Pripomeniem, že veci, ktoré vieme vyskúšať vcelku rýchlo sú:
* Pozrieť sa, či matica $P$ je symetrická.
* Pozrieť sa, či stopa (t.j. súčet prvkov na diagonále) sa rovná dimenzii; t.j. v našom prípade $\operatorname{Tr}(P)=\dim(S)=2$.

Tu už treba o čosi viac počítania - ale pre akýkoľvek vektor vieme vypočítať $\vec xP$; môžeme teda vyskúšať, či sa vektory z $S$ po vynásobení touto maticou nemenia; a tiež to, či sa vektor z $S^\bot$ vynuluje.

Chybné riešenia

Nepísal som sem nič k výpočtu ortogonálnej resp. ortonormálnej bázy. Napíšem aspoň toľko, že ak som sa dopracoval k nejakým vektorom, o ktorých si myslím, že tvoria ONB, tak určite môžem aspoň vypočítať pre ne skalárne súčiny a pozrieť sa na to, či sú na seba naozaj kolmé.

Dôležité je nezabudnúť, že takéto niečo funguje iba pre ortoronormálnu bázu.

Ak som zobral vektory
\begin{align*}
\vec a_1&=(1,0,2,2)\\
\vec a_2&=(1,2,0,-2)\\
\vec a_3&=(2,1,3,2)\\
\end{align*}
vynormoval ich
\begin{align*}
\vec u_1&=\frac1{\sqrt9}(1,0,2,2)\\
\vec u_2&=\frac1{\sqrt9}(1,2,0,-2)\\
\vec u_3&=\frac1{\sqrt{18}}(2,1,3,2)\\
\end{align*}
a počítal potom
$$P=\vec u_1^T\vec u_1+\vec u_2^T\vec u_2+\vec u_3^T\vec u_3,$$
tak to nebude správny výsledok:
* Vektory, ktoré som použil, netvoria bázu.
* A nie sú ani na seba kolmé.

Ak naozaj takúto maticu vypočítate, tak by ste mali zistiť, že $\operatorname{Tr}(P)=3$. (Čiže toto nesedí - ale ak som si neskontroloval či zadané vektory sú lineárne závislé, tak som si možno nevšimol, že $\dim(S)=2$, a teda takto chybu nenájdem.)

Ale určite môžem aspoň skontrolovať, či pre zadané vektory vychádza $\vec x\vec P=\vec x$; a ak to nesedí, tak viem, že niekde je problém.

Konkrétne dostaneme:
$$P=
\frac1{18}\begin{pmatrix}
8 & 6 &10 & 4 \\
6 & 9 & 3 &-6 \\
10 & 3 &17 &14 \\
4 &-6 &14 &20 \\
\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}
\frac49 & \frac13 & \frac59 & \frac29 \\
\frac13 & \frac12 & \frac16 &-\frac13 \\
\frac59 & \frac16 &\frac{17}{18} & \frac79 \\
\frac29 &-\frac13 & \frac79 &\frac{10}9 \\
\end{pmatrix}$$
A nie je ťažké sa presvedčiť, že skúška nevyjde, t.j. nedostane $\vec a_iP=\vec a_i$.