$\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}Nájdite vzdialenosť medzi priamkami $l_1$ a $l_2$:
$l_1$: $x_1=1+t$, $x_2=-1$, $x_3=-t$, $x_4=-2+t$;
$l_2$: $x_1=4+t$, $x_2=2t$, $x_3=1+t$, $x_4=t$
\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\uset}[2]{\underset{#1}{\underbrace{#2}}}$
Priamka $l_1$ je určená bodom $A=(1,-1,0,-2)$ a vektorom $(1,0,-1,1)$.
Priamka $l_2$ je určená bodom $B=(4,0,1,0)$ a vektorom $(1,2,1,1)$.
Pre podpriestor $S=[(1,0,-1,1),(1,2,1,1)]$ máme $S^\bot=[(1,-1,1,0),(0,1,-1,-1)]=[(1,-1,1,0),(1,0,0,-1)]$.
Pomocou kolmého priemetu.
Na nájdenie vzdialenosti medzi $l_1$ a $l_2$ nám stačí vypočítať kolmý priemet vektora $\vekt{AB}=(3,1,1,2)$ do podpriestoru $S^\bot$. (Vzdialenosť je presne dĺžka tohto kolmého priemetu.)
Môžeme napríklad vypočítať (niektorým z postupov, ktorý sme sa učili) maticu projekcie
$$P=
\frac15
\begin{pmatrix}
3 &-1 & 1 &-2 \\
-1 & 2 &-2 &-1 \\
1 &-2 & 2 & 1 \\
-2 &-1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}.$$
Potom máme
$$\vekt{AB}\cdot P=
\frac15(3,1,1,2)
\begin{pmatrix}
3 &-1 & 1 &-2 \\
-1 & 2 &-2 &-1 \\
1 &-2 & 2 & 1 \\
-2 &-1 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}=
(1,-1,1,0)
$$
Môžeme skontrolovať, že skutočne máme
$$\vekt{AB}=(3,1,1,2)=\uset{\in S}{(2,2,0,2)}+\uset{\in S^\bot}{(1,-1,1,0)}$$
Vzdialenosť je presne dĺžka projekcie, ktorú sme vypočítali:
$$d(l_1,l_2)=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\boxed{\sqrt3}.$$
Pomocou pomocného podpriestoru.
Skoro to isté môžeme povedať inak: Preložme cez bod $B=(4,0,1,0)$ rovinu určenú podpriestorom $S=[(1,0,-1,1),(1,2,1,1)]=[(1,0,-1,1),(0,1,1,0)]$.
$$\alpha=\{(4+s,t,1-s+t,s); s,t\in\mathbb R\}$$
Chceme nájsť vzdialenosť bodu $A$ od tejto roviny. Túto vzdialenosť môžeme rátať rôznymi spôsobmi - vyskúšajme teraz kolmopremietací priestor.
Ak cez $A=(1,-1,0,-2)$ preložím rovinu určenú podpriestorom $S^\bot=[(1,-1,1,0),(1,0,0,-1)]$, tak dostanem $$\pi^\bot_{\alpha}(A)=\{(1+u+v,-1-u,u,-2-v); u,v\in\mathbb R\}.$$
Ich prienik $\alpha\cap\pi^\bot_{\alpha}(A)$ môžem hľadať z parametrického vyjadrenia, alebo tak že si najprv napíšem všeobecné vyjadrenia. (Vlastne už poznám kolmé vektory na $\alpha$ aj na $\pi^\bot$, takže z normálových vektorov sa mi rovnice hľadajú ľahko.)
\begin{align*}
\alpha&=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4; x_1-x_2+x_3=5, x_1-x_4=4\},\\
\pi^\bot_{\alpha_2}(A)&=\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in\mathbb R^4; x_1-x_3+x_4=-1, x_2+x_3=-1\}.
\end{align*}
Teraz už stačí riešiť sústavu:
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-1 & 1 & 0 & 5 \\
1 & 0 & 0 &-1 & 4 \\
1 & 0 &-1 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 0 &-1
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 &-2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 &-2
\end{array}\right)$
Spoiler:
Máme $\vekt{AA'}=(1,-1,1,0)$, dĺžka tohoto vektora je $\sqrt3$.
Stredná priečka.
Ak by sme chceli o čosi viac - nájsť aj body $P\in l_1$ a $Q\in l_2$ také, že ich vzdialenosť je práve $d(l_1,l_2)$ (t.j. také, že $\vekt{PQ}$ je kolmý na obe priamky), tak môžeme využiť veci, ktoré sme počítali vyššie.
Už sme vektor $\vekt{AB}$ prepísali ako súčet vektora z $S$ a $S^\bot$:
$$\vekt{AB}=(3,1,1,2)=\uset{\in S}{(2,2,0,2)}+\uset{\in S^\bot}{(1,-1,1,0)}$$
Vektor $\vec u=(2,2,0,2)$ potom ešte môžeme skúsiť zapísať ako súčet vektorov z $V(l_1)$ a $V(l_2)$. V tomto prípade vidíme, že:
$$\vec u=(2,2,0,2)=\uset{\in V(l_1)}{(1,0,-1,1)}+\uset{\in V(l_2)}{(1,2,1,1)}.$$
(A ak by to nevyšlo takto jednoducho - že zložky vieme hneď uhádnuť - tak by sme to zvládli riešením sústavy.)
Pomocou týchto vektorov vieme nájsť vhodné body z $l_1$ a $l_2$:
\begin{align*}
P&=A+\vec u_1=(1,-1,0,-2)+(1,0,-1,1)=(2,-1,-1,-1)\\
Q&=B-\vec u_2=(4,0,1,0)-(1,2,1,1)=(3,-2,0,-1)
\end{align*}
Pre tieto dva body skutočne máme $P\in l_1$, $Q\in l_2$ a $$\vekt{PQ}=(1,-1,1,0).$$