msleziak.com

FMFI UK
https://msleziak.com/forum/

Štátnicová otázka o konečných poliach

https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1973

Page 1 of 1

Štátnicová otázka o konečných poliach

Posted: Wed Aug 23, 2023 4:49 pm
by Martin Sleziak
Mailom sa ma niekto z vás pýtal na túto štátnicovú otázku.
Konečné polia [charakteristika poľa, možné počty prvkov konečných polí, počítanie v poli F[x]/(p(x)) pre ireducibilný polynóm p(x), rozkladové pole polynómu, existencia poľa s p^n prvkami]
Ľudí, ktorí sú teraz tretiaci (a mali by štátnicovať) som učil predmet Algebra (2) ja a je pravda, že som z týchto tém nie všetko stihol. (Dá sa pozrieť v topicu s obsahmi prednášok a aj na konci tohto postu.)
Určite počítajte s tým, že tí čo sme v komisii, vieme čo sa stihlo prebrať - čiže aj skúšať to budeme s tým, že by ste hlavne mali vedieť to, čo sa prebralo.

Veci, ktoré som stihol povedať sú tá prvá časť otázky: "charakteristika poľa, možné počty prvkov konečných polí, počítanie v poli F[x]/(p(x)) pre ireducibilný polynóm p(x)".
Nestihol som ale povedať veci o rozkladovom poli a ani dokázať, že existuje pole s $p^n$ prvkami pre každé prvočíslo $p$ a kladné celé číslo $n$. (Videli sme ale, že toto sú jediné možnosti pre počty prvkov konečných polí - dôkaz tejto časti nebol ani priveľmi náročný.)

T.j. úplne budem spokojný, ak mi budete vedieť povedať také veci, ako napríklad:
  • Čo je charakteristika poľa. Čomu sa môže rovnať.
  • Aký počet prvkov môže mať konečné pole charakteristiky $p$. (Prípadne aj naznačiť, ako sa to dá zdôvodniť.
  • Vysvetliť, čo je vlastne $F[x]/(p(x))$ a že takto sme dostali rozšírenie poľa $F$, v ktorom má $p(x)$ koreň.
  • Ako sa v tomto poli počíta. (T.j. napr. ako sa dajú reprezentovať prvky $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$ a ako by som pre ľubovoľné dva prvky vypočítal ich súčet a súčin Resp. analogická otázka pre inú voľbu konečného poľa $F$ a ireducibilného polynómu $p(x)$.
Samozrejme, ak chcete, určite si môžete pozrieť aspoň definíciu rozkladového poľa a aj to, že ako sme dostali $p^n$ prvkové pole. Je to v úplne poslednej časti textu k prednáške.

Ale skôr je rozumné sústrediť sa hlavne na to, aby ste poriadne vedeli to, čo sa naozaj prebralo. (Ak z tých ostatných častí budete vedieť nejaké zhruba o čom to bolo, je to bonus navyše. A na štátniciach nejaké dlhé dôkazy od vás určite nebudeme chcieť - a dôkazy v tejto časti nie sú spomedzi tých ľahších.)
Spoiler:
Stručne sa dá povedať, že rozkladové pole polynómu $f(x)\in F[x]$ je "najmenšie" nadpole poľa $F$, v ktorom existuje rozklad na koreňové činitele:
$$f(x)=c(x-u_1)\dots(x-u_n).$$
Pod "najmenšie" sa myslí $L=F(u_1,\dots,u_n)$, t.j. $L$ je vygenerované $F$ a všetkými $n$ koreňmi polynómu.

Dôkaz, že rozkladové pole existuje pre každý polynóm nad $F$ sa stručne dá povedať tak, že vieme pridať jeden koreň polynómu - a toto zopakujeme indukciou. (Samozrejme, poriadne by sa ten dôkaz musel zdôvodniť detailnejšie.)

Dá sa potom ukázať, že pre $q=p^n$ je rozkladové pole polynómu $x^q-q$ nad $\mathbb Z_p$ poľom, ktoré má presne $q=p^n$ prvkov. Takýmto spôsobom teda dostaneme existenciu $p^n$-prvkového poľa.

To, čo som tu napísal, je iba taký stručný prehľad - koho tieto veci zaujímajú, môže sa na ne pozrieť detailnejšie či už v poznámkach alebo inde.
Každopádne, na štátniciach by som skôr od vás čakal tie veci, ktoré sú v častiach, ktoré sme naozaj stihli prebrať.
Pridám ešte aj sem sumár toho, čo som vtedy stihol prebrať.
Spoiler:
Martin Sleziak wrote: ↑Thu Apr 28, 2022 12:37 pm Charakteristika poľa. Ukázali sme, že ak $K$ je nadpole $F$, tak je to súčasne vektorový priestor nad $F$. (Tento fakt má síce veľmi jednoduchý dôkaz, ale bude ešte často užitočný. Pripomeniem, že sa dal použiť napríklad na dôkaz, že $F=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ je pole: viewtopic.php?t=349 S nejakými dosť podobnými poľami budeme ešte dosť veľa robiť.)
Ukázali sme, že:
  • Ak $F$ má nekonečnú charakteristiku, tak existuje injektívny homomorfizmus z $\mathbb Z$ do $F$.
  • Ak $F$ má charakteristiku $p$, tak existuje injektívny homomorfizmus z $\mathbb Z_p$ do $F$.

(V prvej časti sa dá dokázať, že v skutočnosti existuje injektívny homomofizmus z $\mathbb Q$ do $F$. Tento dôkaz som preskočil.)

Ukázali sme, že konečné pole má $p^n$ prvkov pre nejaké prvočíslo $p$.

Nedokazoval som, že v poli charakteristiky $p$ platí $(a+b)^p=a^p+b^p$

V poznámkach na webe je v jednom dôkaze využité aj podielové pole - časť o podielovom poli som však preskočil. (Nebude sa ani skúšať.) Jediné, čo tu však potrebujeme je ako rozšírime homomorfizmus $\mathbb Z\to F$ na homomorfizmus $\mathbb Q\to F$, čo je vysvetlené aj tu: viewtopic.php?t=1283
Martin Sleziak wrote: ↑Fri May 13, 2022 12:52 pm 12. prednáška (12.5.):
Konečné rozšírenia, pridanie koreňa.
Definovali sme konečné rozšírenie a stupeň rozšírenie. Ako príklady sme si spomenuli $[\mathbb C:\mathbb R]=2$, $[\mathbb Q(\sqrt2):\mathbb Q]=2$. Pole $\mathbb R$ ako rozšírenia poľa $\mathbb Q$ je príklad rozšírenia, ktoré nie je konečné. (Dá sa to zdôvodniť na základe kardinality.)
Ak $p(x)\in F[x]$ je ireducibilný polynóm, tak existuje rozšírenie poľa $F$, v ktorom tento polynóm má koreň. Môžeme ho dostať ako
$$K=F[x]/(p(x)).$$
Túto vetu sme detailne nedokazovali - ale aspoň som sa snažil ukázať, že $F[x]/(p(x))$ je pole, ako sa v ňom počíta, že obsahuje izomorfnú kópiu poľa $F$ a že $p(x)$ naozaj má v $K$ koreň.
Pozreli sme sa potom na túto konštrukciu na konkrétnych príkladoch. Videli sme, že $\mathbb C\cong \mathbb R[x]/(x^2+1)$. Zostrojili sme štvorprvkové pole ako $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$. (A podobným spôsobom by sme vedeli dostať $p^n$-prvkové pole, ak máme nejaký polynóm stupňa $n$, ktorý je ireducibilný nad $Z_p$.)
All times are UTC+01:00
Page 1 of 1

Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited