msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Tu sa dá pozrieť, čo sme stihli vlani: viewtopic.php?t=1909

1. prednáška (21.9.)
Nejaký čas sme strávili aj organizačnými vecami - termín sa zatiaľ nepresúva; rozprávali sme sa o výbere témy: viewtopic.php?t=1911
Skonštruovateľné čísla. Ako nejaký stručný úvod som porozprával o tom, že nie všetky reálne čísla vieme zostrojiť z úsečky jednotkovej dĺžky pomocou pravítka a kružidla. Do istej miery aj preto, že niečo o tomto probléme sa dá povedať aj pomocou vlastností spočítateľných množín a niečo sa dá povedať pomocou rozšírení polí - takže sa na tomto probléme dajú ilustrovať dve témy, ktoré sa dajú tento semester vybrať. Stručne je o tom niečo aj tu: viewtopic.php?t=1910
Vektorové priestory. Pripomenuli sme si základné veci o vektorových priestoroch (definícia, lineárna nezávislosť, lineárny obal, báza, dimenzia, $n$-rozmerný vektorový priestor je izomorfný s $F^n$).
Ukázali sme si, že $\mathbb R$ je vektorový priestor nad $\mathbb Q$. Ukázal som aj ako pomocou kardinality vieme dokázať, že tento priestor nie je konečnorozmerný. (Iný možný argument - bez využitia vedomostí o kardinalite - je ako jedna z domácich úloh.)

2. týždeň (28.9.)
Na dnešnej hodine sme otestovali nahrávanie na kameru, ktorá je v akváriu - video nahrám do Teams; ak zvážime, že to je užitočné, tak budeme takéto niečo používať aj na ďalších hodinách. Tu je topic, kde som o videách napísal o čosi viac: viewtopic.php?t=1987
Pripomeniem ale aj to, že existujú staršie videá k 2-UMA-115 Teória množín - kde je pokrytá väčšina vecí z tejto témy: viewtopic.php?t=1503

Zobrazenia. Zopakovali sme rôzne základné veci o zobrazeniach.
Definícia zobrazenia. Zúženie zobrazenia, prázdne zobrazenie, skladanie zobrazení. Pripomenuli sme pojem injekcie, surjekcie, bijekcie. Zloženie bijekcií (injekcií, surjekcií) je bijekcia (injekcia, surjekcia). Definícia inverzného zobrazenia, $f^{-1}$ existuje p.v.k. $f$ je bijekcia. (Tieto veci - alebo aspoň väčšinu z nich - už poznáte z nižších ročníkov.)
Kvantifikátory
Keď sme sa rozprávali o prázdnom zobrazení, tak sme sa zastavili aj pri niektorých veciach o kvantifikátoroch. Konkrétne pri tom, že platí
$$(\forall x\in A)P(x) \overset{\mathrm{def}}\Leftrightarrow (\forall x) (x\in A \Rightarrow P(x));\\
(\exists x\in A)P(x) \overset{\mathrm{def}}\Leftrightarrow (\exists x) (x\in A \land P(x)).$$
A tiež pri tom, že že $(\forall x\in\emptyset)P(x)$ je vždy pravda a $(\exists x\in\emptyset)P(x)$ je vždy nepravda, bez ohľadu na výrok $P(x)$. Wikipédia: Vacuous truth.

Explicitne napíšem, že medzi staršími videami je aj video s opakovaním o zobrazeniach, injekciách, surjekciách, bijekciách - čo bola vlastne dnešná téma. Konkrétne toto video: https://www.youtube.com/watch?v=SG2GeuRq4V8
Nahrávka z dnešnej prednášky je nahratá v MS Teams. Mali by ste tam mať prístup všetci, ktorí ste zaradení v tíme.

Slajdy z dnešnej prednášky sú zobr.pdf.
V texte temnonew.pdf sme sa vlastne venovali veciam z časti 2.4 - ale vynechali sme tie definície a tvrdenia, ktoré sa týkajú vzoru a obrazu množiny.

3. týždeň (5.10.)
Kardinalita. Zadefinovali sme, kedy pre dve množiny platí $|X|=|Y|$ a $|X|\le|Y|$. Povedali sme si základné vlastnosti rovnosti a nerovnosti kardinálnych čísel.
Zatiaľ bez dôkazu bola Cantor-Bernsteinova veta. (Dôkaz urobíme nabudúce.) Kardinálna aritmetika. Zadefinovali sme sčitovanie, násobenie a umocňovanie kardinálov.
Ukázali sme, že $|\mathcal P(X)|=2^{|X|}$.
Ukázali sme, že nerovnosť kardinálnych čísel je dobre definovaná (a vysvetlili, čo to vlastne znamená). Ukázali sme, že násobenie kardinálnych čísel je dobre definované. (Pre sčitovanie to zostalo ako nepovinná d.ú., umocňovanie ukážeme neskôr.)

Tu na fóre nájdete niečo o rozdiele kardinálnych čísel - možno toto môže pomôcť vyjasniť čo to znamená, že nejaká operácie nie je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1237
Tu je zasa niečo z iného predmetu, kde sa tiež hovorí o tom, čo znamená, že funkcia alebo operácia je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1293
Ilustráciu so zlomkami nájdete aj v texte k poliam a rozšíreniam polí v časti 2.2.3 Čo znamená, že funkcia je dobre definovaná?

Z dnešnej prednášky nie je v Teams nahrávka - nepodarilo sa mi narýchlo prísť na to, prečo sa nahrával iba obraz a nie zvuk. (Takáto nahrávka by asi nemala veľký zmysel. Ale určite ešte nabudúce vyskúšam - odhadujem, že chyba mohla byť niekde na mojej strane; v tom ako som nahrávanie spúšťal.)
Veci okolo definície rovnosti a nerovnosti kardinalít tam síce nie sú - ale ďalšie veci už medzi starými videami nájdete. (Konkrétne z dnešnej prednášky to, že operácie sú dobre definované - a aj to, čomu sa budeme venovať na ďalších prednáškach.)

V texte temnonew.pdf sme sa vlastne venovali veciam z časti 3.1 (okrem Cantor-Bernsteinovej vety) a začiatku časti 3.1.
Slajdy, na ktorých sú dnešné veci (a ešte aj veľa ďalších, ku ktorým ešte len prídeme) sú 04kard.pdf.
Slajdy k tomu, že jednotlivé operácie sú dobre definované: 04karddobredef.pdf.

4. týždeň (12.10.)
Cantor-Bernsteinova veta.
Dokázali sme Cantor-Bernsteinovu vetu. To je vlastne tvrdenie, že ak $|X|\le|Y|$ a súčasne $|Y|\le|X|$, tak aj $|X|=|Y|$.
V preklade do jazyka zobrazení, ak existujú injekcie oboma smermi $X\to Y$ aj $Y\to X$, tak existuje aj bijekcia medzi množinami $X$ a $Y$.

Skôr než sme sa pustili do dôkazu, tak sme strávili dosť dlhý čas tým, že sme sa pozerali na konkrétne príklady a ako sa v nich dá urobiť bijekcia takým spôsobom, že vyberieme niektoré modré šípky (zľava doprava) a niektoré červené šípky (sprava doľava).
A v samotnom dôkaze sme potom vlastne spravili to, že sme zobrali modrú šípku v tých bodoch, kde sme museli vybrať modrú. (Takéto body sme v dôkaze nazvali modré body.) A vo všetkých ostatných bodoch sme použili červené šípky.

Slajdy z dnešnej prednášky sú 07cantber2.pdf.
V texte temnonew.pdf sme sa prešli časť 6.1 Iný dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety

Pripomeniem, že k tomuto dôkazu som dával video na YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=-icTUMXxRpc
Do Teams časom nahrám aj video z hodiny - ale myslím, že to video na YouTube sa vám bude pozerať lepšie.

EDIT: Teraz sú v MS Teams videá z dnešnej prednášky - jedno z nich má aj prestrihy na slajdy na niektorých miestach. Mali by ste tam mať prístup všetci, ktorí ste zaradení v tíme. (Stále ale platí to, čo som napísal vyššie - zdá sa mi, že sa vám skôr oplatí pozrieť sa na to video, ktoré je na YouTube.)

5. týždeň (19.10.)
Na začiatku sme trochu hovorili, že rozdiel kardinálnych čísel nevieme celkom zmysluplne zadefinovať: viewtopic.php?t=1237
A vrátili sme sa k predchádzajúcim dvom úlohám. (Tento týždeň novú úlohu na web nebudem dávať.)
Kardinálna aritmetika. Začali sme dokazovať niektoré základné vlastnosti operácií s kardinálnymi číslami.
Súčet kardinálnych čísel. Najprv sme dokázali viaceré vlastnosti sčitovania kardinálov. Spomenul som aj $a+0=a$; najmä z toho dôvodu, že keď sme zadefinovali nový typ čísel a nový typ sčitovania (násobenia, umocňovania), mali by sme skontrolovať aj takéto vlastnosti, ktoré sa zdajú byť samozrejmé.
Komutatívnosť a asociatívnosť boli veľmi jednoduché. Takisto sme ľahko dokázali aj $b\le c$ $\Rightarrow$ $a+b\le a+c$.
Pri tomto dôkaze sa hodilo definovať obraz množiny - a spomenuli sme aj vzor množiny. T.j. ak $f\colon X\to Y$, tak pre $A\subseteq X$, $B\subseteq Y$ definujeme:
\begin{align*}
f[A]&=\{f(a); a\in A\}\\
f^{-1}[ B ]&=\{x\in X; f(x)\in B\}
\end{align*}
Dokázali sme, že platí $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$.
Ukázali sme, že $\aleph_0+a=\aleph_0$ pre ľubovoľné $a\ge\aleph_0$.
Tu súčasne vidíme, že z $b<c$ vo všeobecnosti nevyplýva $a+b<a+c$. Alebo tiež vidíme, že ak $a\ge\aleph_0$, tak platí $a+1=a$. Teda je naozaj viacero vlastností, kde sa operácie s nekonečnými kardinálnymi číslami správajú inak ako operácie s prirodzenými číslami.
Identita $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$ a niektoré ďalšie identity týkajúce sa kardinálneho čísla $\aleph_0$ sa dajú porozprávať aj menej formálne pre stredoškolákov - Hilbertov hotel: viewtopic.php?t=467
Súčin kardinálnych čísel.
Vlastnosti násobenia kardinálov. Opäť som spomenul aj niektoré vlastnosti, ktoré sú očividné; t.j. čomu sa rovná $0\cdot a$, $1\cdot a$, a že $2\cdot a=a+a$.
Pozreli sme sa na to, že platí komutatívnosť, distributívnosť, asosciatívnosť. A tiež na to, že $b\le c$ $\Rightarrow$ $ab\le ac$.
Ukázali sme, že $\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0$.

V texte temnonew.pdf sme sa vlastne venovali veciam z častí 3.2.1 a 3.2.2.
Slajdy, na ktorých sú dnešné veci (a ešte aj veľa ďalších, ku ktorým ešte len prídeme) sú 04kard.pdf.
Nahrávka z dnešnej prednášky je nahratá v MS Teams. Mali by ste tam mať prístup všetci, ktorí ste zaradení v tíme.

6. týždeň (26.10.)
Kardinálna aritmetika.
Bez dôkazu sme si povedali, že pre $a,b\ge\aleph_0$ platí $a+b=a\cdot b=\max(a,b)$. (Dôkaz nie je jednoduchý, nebudeme ho na tomto predmete robiť. Ako som už spomenul, využíva nejakým spôsobom axiómu výberu. Takisto sme sa dohodli, že pri úlohách ktoré máte riešiť, by ste to mali robiť bez použitia tohto tvrdenia.)
Umocňovanie kardinálnych čísel.
Ukázali sme, že umocňovanie kardinálnych čísel je dobre definované.
Čomu sa rovná $0^0$, $a^0$, $0^a$. K mocnine $0^0$ pridám ešte aj túto linku: viewtopic.php?t=343
Vlastnosti kardinálneho umocňovania: Spomenuli sme, že $a^1=a$ a $a^2=a\cdot a$. (Toto je pomerne jednoduché, takže dôkaz som nerobil.)
Ukázali sme, že $a\le b$ $\Rightarrow$ $a^c\le b^c$,
Ukázali sme si, že $a\le b$ $\Rightarrow$ $c^a\le c^b$ (pre $c\ne0$).
Tiež sme si rozmysleli, že platí $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$, $(ab)^c=a^c\cdot b^c$. (Tieto skôr iba tak neformálne. V prípade záujmu sa dajú detailné dôkazy pozrieť v poznámkach. Druhú z týchto rovností som už dokončoval pomerne narýchlo - ak bude treba, tak sa k nej môžeme vrátiť nabudúce.)

Na stránke nájdete nejaký prehľad o kardinálnych číslach, kde sú zosumarizované veci, ktoré sme dokázali (a dokážeme) o operáciách s kardinálnymi číslami.
Spomínam to aj v súvislosti s tým, že som zadal ako jednu domácu úlohu niečo, kde treba vypočítať nejaké kardinálne číslo; je tam aj jasne špecifikované, ktoré veci sú "povolené".
Nejaké príklady takéhoto typu sú vyriešené aj na fóre: viewtopic.php?t=123 a viewtopic.php?t=1074

V texte temnonew.pdf sme sa vlastne venovali veciam z časti 3.2.3.
Slajdy, na ktorých sú dnešné veci (a ešte aj veľa ďalších, ku ktorým ešte len prídeme) sú 04kard.pdf.
Slajdy k tomu, že jednotlivé operácie sú dobre definované: 04karddobredef.pdf. (Ostatné sme už urobili skôr, dnes sme sa pozreli na umocňovanie.)
Nahrávka z dnešnej prednášky je nahratá v MS Teams. Mali by ste tam mať prístup všetci, ktorí ste zaradení v tíme.

7. týždeň (2.11.)
Bolo rektorské voľno.

8. týždeň (9.11.)
Na začiatku sme sa pozreli na príklady takého typu, kde bolo treba vypočítať nejaký kardinál.
Konkrétne to boli dôkazy, že $\aleph_0\cdot 2^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$ a $\mathfrak c^{2^{\mathfrak c}}=2^{2^{\mathfrak c}},$ dajú sa nájsť aj tu: viewtopic.php?t=1074 a viewtopic.php?t=123
(Chcel som ukázať nejaké príklady takéhoto typu, keďže sa viacero takýchto vecí vyskytne v domácich úlohách.)
Kardinálna aritmetika.
Rozmysleli sme si, že: $(a^b)^c=a^{bc}$. (Nerobil som formálny dôkaz, ale trochu sme sa pozreli aj na obrázok, ktorý ilustruje intuíciu za týmto dôkazom.)
Ukázali sme, že pre kardinálne čísla platí $a\le2^a$ a $a^b\le 2^{ab}$.
Cantorova veta. Cantorova veta: $a<2^a$ resp. $|A|<|\mathcal P(A)|$. Ukázali sme si všeobecný dôkaz, potom sme si ho ešte raz ilustrovali na príklade $A=\mathbb N$, aby bolo jasnejšie, prečo sa metóde dôkazu hovorí Cantorova diagonálna metóda.

V texte temnonew.pdf sme sa vlastne venovali veciam z častí 3.2.3 a 3.3.
Slajdy, na ktorých sú dnešné veci (a ešte aj veľa ďalších, ku ktorým ešte len prídeme) sú 04kard.pdf.
Nahrávka z dnešnej prednášky je nahratá v MS Teams. Mali by ste tam mať prístup všetci, ktorí ste zaradení v tíme.

9. týždeň (16.11.)
Vrátili sme sa k úlohe du05 o zobrazení $\varphi \colon C^B \to C^A$ definovanom ako $\varphi(g)=g\circ f.$ (Zhruba tie isté veci sú aj v komentároch na fóre; aj keď topic venovaný tejto úlohy obsahuje aj iné časti, ktoré tento rok neboli v zadaní.)
Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Zjednotenie spočítateľne veľa spočítateľných množín je opäť spočítateľné. Množina racionálnych čísel $\mathbb Q$ je spočítateľná.
Kardinalita množiny $\mathbb R$:
Dokázali sme, že $|\mathbb R|=\mathfrak c$. (Dôkaz som robil trochu inak ako v texte k prednáške - robil som v desiatkovej sústave, nie v dvojkovej. Navyše som nedokazoval, že čísla s konečným rozvojom sú jediný prípad, kedy má číslo nejednoznačný zápis. Pre dyadický - dvojkový - zápis je táto vec v texte k prednáške dokázaná detailne.)

V texte temnonew.pdf sme sa vlastne venovali veciam z častí 3.4 a 3.5.
Slajdy, na ktorých sú dnešné veci (a ešte aj veľa ďalších, ku ktorým ešte len prídeme) sú 04kard.pdf.
Nahrávka z dnešnej prednášky je nahratá v MS Teams. Mali by ste tam mať prístup všetci, ktorí ste zaradení v tíme.

10. týždeň (23.11.)
Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Ľubovoľná množina disjunktných netriviálnych intervalov na priamke musí byť spočítateľná.
Ukázal som ešte iný dôkaz, že množina reálnych čísel je nespočítateľná, ktorý je založený na diagonálnom argumente (príklad 3.5.5 v texte).
Dôkaz, že množina všetkých spojitých zobrazení z $\mathbb R$ do $\mathbb R$ má kardinalitu $\mathfrak c$.
Existenčné dôkazy.
Ukázali sme, že algebraických čísel je spočítateľne veľa, a teda existujú aj transcendentné čísla. (V dôkaze sme používali fakt, že polynóm stupňa $n$ má nanajvýš $n$ koreňov. Tento fakt by ste mali vedieť z algebry ešte z bakalárskeho štúdia, ale ak si chcete pripomenúť dôkaz, môžete sa pozrieť aj sem: viewtopic.php?t=1349.)
Ďalší podobný dôkaz bol, že existujú body resp. vzdialenosti v rovine, ktoré sa nedajú zostrojiť pomocou pravítka a kružidla. Niečo k tejto téme je stručne napísané aj tu: viewtopic.php?t=1532
Ešte by som chcel spraviť do istej miery podobný dôkaz týkajúci sa Ukázali sme, že vypočítateľných funkcií; dnes som to nestihol, takže sa k nemu vrátim nabudúce.

Videli sme viacero dôkazov ktoré boli existenčné (nie konštruktívne). Dôkazy podobné tým, ktoré sme videli tu - kde ukážeme že nejaká množina je v istom zmysle väčšia ako jej podmnožina a preto musí byť niečo v rozdiele - sa vyskytujú v matematike často. Podobne ako sme to urobili mi, často sa využíva kardinalita. Ale niekedy sa používajú aj iné spôsoby, ako sa meria to, že niektorá z množín je väčšia. Niečo k existenčným dôkazom sa dá prečítať tu: viewtopic.php?t=856 (Pravdepodobne ste sa však s niektorými pojmami, ktoré sa tam vyskytujú, na učiteľskom štúdiu nestretli.)

V texte temnonew.pdf sme sa vlastne venovali veciam z častí 3.5 a 3.6. (Veci o skonštruovateľných číslach sú tam ako úloha 3.6.4.)
Slajdy, na ktorých sú dnešné veci (a ešte aj veľa ďalších, ku ktorým ešte len prídeme) sú 04kard.pdf.
Nahrávka z dnešnej prednášky je nahratá v MS Teams. Mali by ste tam mať prístup všetci, ktorí ste zaradení v tíme. Pripomeniem, že tieto veci sú aj vo videách zo staršieho semestra: viewtopic.php?t=1503