Otázka: Dôkaz, že zobrazenie(operácia) je dobre definované

[korman]

Dobrý deň,

pýtam sa naschvál na fóre z dôvodu, že by niekto mal rovnakú otázku. V dosť dôkazoch sa nachádza dôkaz, že operácia alebo zobrazenie je "dobre definované". Snažil som sa pochopiť čo to znamená ale nemám moc dobrú intuíciu za tým, načo je to dôležité. Tento problém sa nachádza napríklad v Leme 3.2.12., Vete 3.4.1 atď... V podstate ide tieto vety vyhladať vyhľadaním kľúčového slova "dobre definovaná" v skriptách.
V podstate to trochu chápem tak, že vo väčšine tých viet ide o nejaké množiny a toto sa snaží povedať, že je jedno, aký prvok vyberieme z danej množiny, veta bude platiť stále ? Ak je to jasné a spýtal som sa blbosť, tak to odtiaľto zmažem.

Vopred ďakujem za odpoveď.

[Martin Sleziak]

Myslím si, že je to užitočná otázka a asi môžu byť problémy s tým, čo sa tým myslí. (Čiže sa určite nepýtate na blbosť, ak použijem vašu formuláciu.)

Skúsim najprv napísať niečo všeobecne a potom sa ešte k tomuto vrátim a niečo napíšem aj k niektorým konkrétnym prípadom, ktoré sa vyskytli v poznámkach čo som dal na web.

A samozrejme, oplatí sa popozerať čo k tomuto píšu iní ľudia, múdrejši ako ja. Napríklad tu:

• Well-defined - Wikipédia
• What does it mean for a function to be well defined (reddit/learnmath)
• Definition of "well defined" in mathematics - Mathematics Stack Exchange
• Well defined function meaning - Mathematics Stack Exchange

Začnem úplne všeobecne tým, že pripomeniem čo je zobrazenie. Formálne sme ho síce definovali ako množinu usporiadaných dvojíc ale menej formálne je zobrazenie $X\to Y$ vlastne niečo čo má každému prvku $x\in X$ priradiť práve jeden prvok $y\in Y$.
V tomto kontexte - keď riešime otázku čo sa myslí pod frázou "dobre definované zobrazenie" - je práve jednoznačnosť $f(x)$ tá dôležitá vec.

Skúsim začať nejakým naivným príkladom.

Príklad 1 - odmocnina. Skúsme takéto niečo: Pre číslo $x$ definujeme $y=\sqrt x$ ako také číslo, pre ktoré $y^2=x$.
Definovali sme tým nejaké zobrazenie?
Už ste natoľko skúsení, že vám je jasné prinajmenšom to, že som vynechal veľa dôležitých informácií. Vôbec som nepovedal, čo je obor a čo koobor.

Tak by som to teda skúsil opraviť takto: "Zobrazenie $f\colon\mathbb R^+\to\mathbb R$ definujeme tak, že $f(x)=y$ je také číslo pre ktoré platí $y^2=x$.
Je to už teraz zobrazenie?
Určite nie. To čo so povedal, priradí napríklad pre $x=1$ dva možné výsledky, konkrétne $y=\pm1$.
Samozrejme, vieme to ľahko opraviť: "Zobrazenie $f\colon\mathbb R^+\to\mathbb R$ definujeme tak, že $f(x)=y$ je také nezáporné číslo pre ktoré platí $y^2=x$."
Teraz už by sme vedeli skontrolovať, že pre každé $x\in\mathbb R^+$ dostaneme práve jedno $y$ s uvedenými vlastnosťami. Takže naozaj máme dobre definované zobrazenie.

Príklad 2 - zlomky. Každé racionálne číslo sa dá vyjadriť ako $x=\frac ab$, ale nie jednoznačne. (Vedeli by sme dosiahnuť jednoznačnosť, ak by sme požadovali aby $a$, $b$ boli nesúdeliteľné čísla. Túto možnosť teraz na chvíľu - najmä pre účely tohoto príkladu - ignorujme.) Povedzme, že chceme nejako definovať funkciu $\mathbb Q\to\mathbb Z$.

Ak by som definoval $f\colon\mathbb Q\to\mathbb Z$ predpisom $f(a/b)=a-b$, bola by to dobre definovaná funkcia?

Spoiler:

Nie. Výsledok závisí od toho ako reprezentujeme príslušný zlomok.

Napríklad by sme dostali súčasne $f(2)=f(2/1)=2-1=1$ a aj $f(2)=f(4/2)=4-2=2$.
Teda číslo $2$ by sa súčasne malo zobraziť na jednotku aj na dvojku.

Skúsime iný príklad, z nejakých dôvodov sa nám v ňom bude hodiť zakázať nulu.

Ako by to bolo s takýmto predpisom $g\colon \mathbb Q\setminus\{0\} \to \mathbb Z$ definujeme ako $g(a/b)=x-y$, kde $x$ je najvyššia mocnina dvojky ktorá sa vyskytuje v prvočíselnom rozklade čísla $a$ a $y$ je najvyššia mocnina dvojky, ktorá sa vyskytne v prvočíselnom rozklade čísla $b$. Definovali sme takto zobrazenie?

Spoiler:

Áno. Je to zobrazenie.
Najprv si môžeme všimnúť, že nenastane ten istý problém čo minule: $g(2)=g(2/1)=1-0=1$ aj $g(2)=g(4/2)=2-1=1$.
My by sme sa chceli presvedčiť, že to zafunguje pre ľubovoľné dve vyjadrenia toho istého zlomku - nie iba pre tento jeden konkrétny príklad.
T.j., že ak $a/b=c/d$, tak nám tento predpis dá v oboch prípadoch rovnaký výsledok.

Čo to znamená, že dva zlomky sa rovnajú? Vlastne to hovorí iba toľko, že čítateľ aj menovateľ sme rozšírili tým istým číslom. Tým pádom sme ale exponent dvojky v čitateli a v menovateli zvýšili o to isté číslo a rozdiel zostal rovnaký.

Ak to skúsime zapísať formálnejšie, tak môžeme povedať zhruba toto:
$$\frac ab=\frac cd \Leftrightarrow ad=bc.$$
Označme $a=2^xa'$, $b=2^yb'$, $c=2^zc'$, $d=2^wd'$, kde $a'$, $b'$, $c'$, $d'$ sú nepárne. (Malo by byť jasné, že každé nenulové celé číslo sa jednoznačne vyjadriť ako mocnina dvojky vynásobená nepárnym číslom.)
Potom dostaneme
\begin{align*}
ad&=bc\\
2^xa'2^wd'&=2^yb'2^zc'\\
2^{x+w}a'd'&=2^{y+z}b'c'
\end{align*}
Z poslednej rovnosti vyplýva - opäť na základe toho že zápis v tvare mocnina dvojky krát nepárne číslo je jednoznačný - že máme $x+w=y+z$ a teda aj $x-y=z-w$.
Zistili sme, že
\begin{align*}
g\left(\frac ab\right) &= x-y\\
g\left(\frac cd\right) &= z-w
\end{align*}
čiže $g(a/b)=g(/c)$.
Výsledok nezávisí od toho v akom tvare zapíšeme náš zlomok, funkcia $g$ je dobre definovaná.

Keď už som spomenul túto funkciu ako príklad, tak by sa patrilo spomenúť, že by som mohol to isté robiť s akýmkoľvek prvočíslom $p$ namiesto $2$, Tejto funkcii sa hovorí $p$-adická valuácia.

A tiež pripomeniem, že nejaké zobrazenie definované na racionálnych číslach sa vyskytlo v dôkaze o vnorení $\mathbb Q$ do poľa nekonečnej charakteristiky: viewtopic.php?t=1283
(Azda na tom dôkaze aspoň trochu vidno, že niektoré veci sa nám ľahšie overovali ak sme definovali naše zobrazenie pre ľubovoľné vyjadrenie v tvare podielu než keby sme sa obmedzili iba na tie, kde sú čitateľ a menovateľ nesúdeliteľné. Potom sme ale museli overiť to, či je toto zobrazenie dobre definované.)

Príklad 3 - Cantor a Bernstein. Tento príklad sem dávam hlavne s tým zámerom, aby bolo vidno, že s niečím takýmto ste sa už (pravdepodobne?) stretli aj na iných predmetoch. (A na tento konkrétny dôkaz som si vedel spomenúť, keďže som ho prednášal na inom predmete.)

Je viacero dôkazov Cantor-Bernsteinovej vety, ktoré sa zvyknú vyskytovať v úvodnom kurze. Skoro pri každom z nich sa vlastne z dvoch injekcií $f\colon X\to Y$ a $g\colon Y\to X$ nejako "skombinuje" bijekcia $h\colon X\to Y$.
O zobrazení $h$ treba ukázať, že to je skutočne bijekcia. A špeciálne treba ukázať aj že to je naozaj zobrazenie, t.j. že je dobre definované.
Obzvlášť ak ste robili dôkaz pomocou reťazca predchodcov (predkov), tak tam niečo takéto vidno. (Aj ak ste nepoužili priamo frázu "dobre definované", v dôkaze bolo dôležité že nejaké prípady na ktoré ste sa pozerali sa navzájom vylučovali a pre každý prvok z $X$ niektorý z nich nastal.)
Takýto dôkaz som videl ako jeden z dôkazov v http://new.dcs.fmph.uniba.sk/files/text ... dnasky.pdf aj v http://www.dcs.fmph.uniba.sk/texty/dsmain.pdf - takže je naozaj možné že ste sa s ním stretli.
Neskromne pridám aj linku na svoje slajdy a poznámky k inému predmetu (na inom odbore). Najmä z preto, že začiatok týchto slajdov je venovaný presne takémuto typu dôkazu a možno by vám teda mohol pripomenúť, či ste niečo podobné videli.

Keď už spomínam nejaké veci o kardinalitách, tak aj pri definície súčtu, súčinu a umocňovania kardinálnych čísel si treba rozmyslieť, že tieto operácie sú dobre definované. (A možno ste to aspoň stručne spomenuli, keď ste sa učili o kardinalitách). Pridám túto linku, kde vidno, že je problém rozumne definovať rozdiel kardinálnych čísel: viewtopic.php?t=1237

[Martin Sleziak]

Teraz sa trochu pozrime na to, v akom kontexte sa vyskytuje fráza dobre definované na tomto predmete.

Skoro všetky prípady sú také, že máme nejakú reláciu ekvivalenciu resp. rozklad nejakej množiny a chceme každej triede priradiť nejaký prvok. (A ak ste ochotní sa na zlomky pozerať ako na usporiadané dvojice celých čísel a na racionálne čísla ako na triedy ekvivalencie usporiadaných dvojíc, tak aj tú jednu výnimku by sme mohli brať ako zobrazenie takéhoto typu.)

Dokonca sa dá povedať, že vždy to použijeme na nejaký rozklad grupy podľa normálnej podgrupy alebo okruhu podľa ideálu. (Výnimkou by mohli byť nejaké cvičenia ktoré sme robili všeobecne pre relácie ekvivalencie. A spomínaná veta o racionálnych číslach.)

Skúsime sa teda pozrieť na takéto príklady. Opäť na jeden ilustračný a potom na niečo čo sa reálne vyskytlo v texte.

Modulo $2$ a modulo $3$.
Poďme pracovať so $G=\mathbb Z/4\mathbb Z$.
Táto faktorová grupa pozostáva zo štyroch tried, $G=\{[0],[1],[2],[3]\}$.
Chceli by sme definovať zobrazenie $G\to\mathbb Z$. T.j. bude to zobrazenie, ktoré priradí každej triede nejaké celé číslo.

Povedzme že by sme to spravili takýmto predpisom:
$$f([a])=a\bmod 3.$$
T.j. pre danú triedu sme si zobrali nejakého reprezentanta a urobili sme zvyšok po delení tromi.
Toto nie je zobrazenie. Tento predpis nám totiž hovorí, že $f([0])=0$ a $f([4])=1$.
Pritom $[0]=[4]$, teda tej istej triede sme priradili dva rôzne výsledky.

Nechám na vás, aby se si rozmysleli, že zobrazenie $g\colon G\to \mathbb Z$
$$g([a])=a\bmod 2$$
je dobre definované.

Veta o izomorfizme. Vo vete o izomorfizme pre grupy (v súčasnom číslovaní veta 3.5.2) sa vyskytlo zobrazenie $\varphi\colon G/H \to G'$ určené ako
$$\varphi\colon aH\to f(a).$$
Všimnime si, že je to presne takého typu ako sme hovorili:
* pracujeme s nejakým rozkladom;
* priradili sme niečo každej triede;
* to čo sme jej priradili sme vyjadrili pomocou nejakého reprezentanta.
Teda treba overiť, či toto zobrazenie nezávisí od výberu reprezentanta, t.j. či je dobre definované.
Inak povedané, ak máme tú istú triedu vyjadrenú rôznymi reprezentantmi, t.j. $aH=bH$, mali by sme skontrolovať, či $f(a)=f(b)$.
V tomto dôkaze to vyjde vďaka tomu, že z $aH=bH$ vieme, že $a^{-1}b\in H=\operatorname{Ker} f$ a teda
$$f(a)=f(a)f(a^{-1}b)=f(aa^{-1}b)=f(b).$$

Súčin vo faktorovom okruhu.
Keď sme definovali faktorový okruh $R/I$, tak sme definovali súčin predpisom
$$(a+I)\cdot(b+I)=ab+I.$$
Opäť sme v situácii, že definujeme nejaké zobrazenie. (Binárna operácia je zobrazenie, v tomto prípade $\cdot\colon R/I \times R/I\to R/I$.)
A tiež pracujeme s triedami a výsledok sme definovali pomocou reprezentantov týchto tried. Čiže by sme mali overiť, že bez ohľadu na výber reprezentnantov je výsledok rovnaký.
Inými slovami, že ak $a+I=a'+I$, $b+I=b'+I$, tak aj $ab+I=a'b'+I$. (Ak si vezmeme tie isté triedy, len inak zapísané, tak by mal byť výsledok našej binárnej operácie rovnaký.)
Tu si stačilo pamätať, kedy sa dve triedy rovnajú: $x+I=y+I$ $\Leftrightarrow$ $x-y\in I$. A potom sme už vedeli ukázať, že rozdiel
$$ab-a'b' = a(b-b')+b'(a-b')$$
patrí do ideálu $I$, a teda aj triedy prvok $ab$ a $a'b'$ sú rovnaké.

*****

Neviem, do akej miery príklady čo som sem dal pomohli objasniť čo vlastne robíme.
Pokojne sa pýtajte, ak by sa vám zdalo že ešte niektorý konkrétny dôkaz z poznámok by sa hodilo detailnejšie vysvetliť. Alebo aj na veci, ktoré som sem napísal.
A takisto aj ak vy máte nejaké dobré vysvetlenia alebo príklady, ktoré by mohli vašim kolegom pomôcť, tak sem neváhajte napísať.

[korman]

Príklady su fajn. Najmä z toho konca, je to myslím veľmi dobre vidieť a je mi to už jasné. Ďakujem