Exercise 10.1 - triviálny podmodul v permutačnom

[Martin Sleziak]

Exercise 10.1: Let $G$ be a finite group. Find a $\mathbb{C}G$-submodule of $\mathbb{C}G$ which is isomorphic to the trivial $\mathbb{C}G$-module. Is there only one such $\mathbb{C}G$-submodule?

Moje riešenie: $$ pre $u=\sum_{g\in G}g$ je triviálny podmodul. (To je vcelku ľahké a už sme to párkrát robili.)

Jednoznačnosť: Nech $u\in\mathbb{C}G$ je vektor taký, že $ug=g$ pre ľubovoľné $g\in G$.
$$
\begin{gather*}
u=\lambda_1g_1+\dots+\lambda_ng_n\\
ug=\lambda_1g_1g+\dots+\lambda_ng_ng
\end{gather*}
$$
Ak sa použijeme $g=g_1^{-1}g:u$, tak vidíme, že $\lambda_i=\lambda$. Teda všetky koeficienty sú rovnaké, je to násobok vektora $\sum_{g\in G}$, čiže generuje ten istý podmodul.

[Martin Sleziak]

Riešenie vzadu

Vzadu je riešenie prvej časti rovnaké, zoberie sa $u=\sum_{g\in G}$. Druhú časť riešili zhruba takto:
Ak $[v]$ je triviálny podmodul, znamená to, že pre ľubovoľné $g\in G$ platí $vg=v$. Potom
$$|G|v=v\sum_{g\in G}g\overset{(*)}=(\sum_{g\in G}g)v=uv\in $$
z čoho vyplýva $=[v]$.

Rovnosť $(*)$ vyplýva z toho, že $ug=gu$ (pre všetky $g\in G$), teda aj $uv=vu$ pre každé $v\in\mathbb{C}G$. (Takto som to aspoň pochopil ja.)

Sorry, že tu veci značím inak, ako to majú vzdau, ale chcel som vektor $u$ použiť rovnako ako v mojom riešení.