msleziak.com

Zdôvodnite, že ak máme zadané úsečky dĺžok $x$ a $y$, tak pomocou pravítka a kružidla vieme skonštruovať aj úsečku dĺžky $\sqrt{xy}$.

Väčšinou ste riešili túto úlohu cez Euklidovu vetu o výške - to bolo aj riešenie, ktoré som typicky očakával. (A je asi vcelku prirodzené, keďže s takýmto niečím ste sa stretli.)
Teda ste vlastne zostrojili pravouhlý trojuholník, kde odvesna je pätou výšky rozdelená na časti dĺžok $x$ a $y$; dĺžka výšky je potom $\sqrt{xy}$.
Wikipédia: Geometric mean theorem

Viacerí ste v riešení dokonca Euklidovu vetu o výške aj odvodili. Najčastejšie pomocou podobnosti trojuholníkov. Páčilo sa mi aj zdôvodnenie pomocou mocnosti bodu ku kružnici.
A našli sa aj riešenia, kde bolo použité vyjadrenie pre odvesnu.

*****

Euklidove vety sa dajú použiť aj na zdôvodnenie Pytagorovej vety:
\begin{align*}
cc_a&=a^2\\
cc_b&=b^2\\
c(c_a+c_b)&=a^2+b^2\\
c^2&=a^2+b^2
\end{align*}

V podstate takéto odvodenie nájdete aj ako jeden dôkaz na Wikipédii: Pythagorean theorem § Proof using similar triangles (linka na súčasnú verziu).

*****

Jedno zaujímavé riešenie iného typu bolo také, že ste zostrojili pravouhlý trojuholník s preponou $x+y$ a odvesnou $x-y$.
\begin{align*}
(x+y)^2-(x-y)^2&=4xy\\
\sqrt{(x+y)^2-(x-y)^2}&=2\sqrt{xy}
\end{align*}
Potom druhá odvesna má dĺžku $2\sqrt{xy}$ a vieme dostať aj úsečku dĺžky $\sqrt{xy}$.