V jednom z odovzdaných riešení sa ako zdôvodnenie toho, že $\newcommand{\alnul}{\aleph_0}\newcommand{\mfrc}{\mathfrak c}\mfrc\cdot\alnul=\mfrc$ vyskytlo niečo takéto:
My sme nedefinovali niečo také ako logaritmus kardinálneho čísla
Z ostatných vecí napísaných v tomto riešení bolo jasné, že pod $\mu=\log_2\alnul$ sa myslí to, že $\alnul=2^\mu$.
V skutočnosti však neexistuje kardinálne číslo kardinálne číslo $\mu$ také, že $2^\mu=\alnul$. (A teda argument, ktorý som skopíroval vyššie nefunguje.)
Pre prípad, že sa nad tým chcete zamyslieť aj samostatne, zdôvodnenie je skryté ako spoiler.
Hint:
Spoiler:
Skúsiť použiť, že pre každé kardinálne číslo $\mu$ nastane jedna z týchto dvoch možností:
$\mu<\alnul$, t.j. $\mu$ je nejaké konečné číslo;
$\mu\ge\alnul$ ak $\mu$ je nekonečné.
Aby som nepodvádzal, tak pripomeniem, že tento fakt sme nedokazovali - a že sme spomenuli, že v dôkaze by sa nejako využila axióma výberu.
Celé riešenie:
Spoiler:
Ak máme kardinálne číslo $\mu$ také, že $\mu<\alnul$, tak $\mu$ je nejaké konečné číslo. (Inak povedané, je to prirodzené číslo.)
Potom aj $2^\mu$ je konečné číslo a teda $2^\mu<\alnul$.
Obrátene, ak platí $\mu\ge\alnul$, tak dostaneme
$$2^\mu\ge2^{\alnul}>\alnul.$$
Čiže v tomto prípade je $2^\mu$ ostro väčšie ako $\alnul$.
Určite by ste ale vedeli pôvodné riešenie nejako opraviť - dá sa napísať aj riešenie podobné ako to, čo je napísané vyššie. Síce nemáme kardinál $\mu$ taký, že $\alnul=2^\mu$. Ak si však vezmeme vhodné $\mu$ také, že $\alnul\le2^\mu$, tak by sme vedeli dostať aspoň jednu nerovnosť.
Spoiler:
Z Cantorovej vety máme $\alnul<2^{\alnul}$, a teda dostaneme:
\begin{align*}
\mfrc\cdot\alnul
&=2^{\alnul}\cdot\alnul\\
&\le2^{\alnul}\cdot2^{\alnul}\\
&=2^{\alnul+\alnul}\\
&=2^{\alnul}=\mfrc
\end{align*}
Dostali sme $\mfrc\cdot\alnul\le\mfrc$.
Ľahko vidíme, že platí $\mfrc\le\mfrc\cdot\alnul$.
Z Cantor-Bernsteinovej vety potom máme
$$\mfrc\cdot\alnul=\mfrc$$
Pozerali sme sa na otázku, či sa $\aleph_0$ dá vyjadriť ako $2^\mu$ pre nejaké $\mu$; zistili sme, že to tak nie je.
Prirodzene by sme sa mohli tú istú otázku pýtať pre niektoré vyššie kardinály.
Takéto niečo súvisí s otázkami známymi pod názvom hypotéza kontinua prípadne zovšeobecnená hypotéza kontinua. Je známe, že zo štandardných axióm teórie množín sa hypotéza kontinua nedá dokázať ani vyvrátiť.
Pridám aj linku na Wikipédiu: Continuum hypothesis a The generalized continuum hypothesis
Azda sa patrí spomenúť aj to, že pojem logaritmus kardinálneho čísla sa v skutočnosti v niektorých oblastiach matematiky používa. Nie je však definovaný tak, že by sa daný kardinál dal vyjadriť v tvare $\varkappa=2^{\log\varkappa}$; vlastne sme už videli vyššie, že existenciu takto definovaného logaritmu nevieme zaručiť.
Assuming the axiom of choice and, given an infinite cardinal $\kappa$ and a finite cardinal $\mu$ greater than $1$, there may or may not be a cardinal $\lambda$ satisfying $\mu^\lambda = \kappa<$. However, if such a cardinal exists, it is infinite and less than $\kappa$, and any finite cardinality $\nu$ greater than $1$ will also satisfy $\nu^\lambda = \kappa$.
The logarithm of an infinite cardinal number $\kappa$ is defined as the least cardinal number $\mu$ such that $\kappa\le 2^\mu$. Logarithms of infinite cardinals are useful in some fields of mathematics, for example in the study of cardinal invariants of topological spaces, though they lack some of the properties that logarithms of positive real numbers possess.