Čo vyplýva zo surjektívnosti resp. injektívnosti zloženia$\newcommand{\emps}{\emptyset}\newcommand{\Zobr}[3]{{#1}\colon{#2}\to{#3}}\newcommand{\abs}[1]{\lvert{#1}\rvert}$
Nech $\Zobr fXY$ a $\Zobr gYZ$ sú zobrazenia. Potom platí:
- Ak $g\circ f$ je injektívne, tak aj $f$ je injektívne.
- Ak $g\circ f$ je surjektívne, tak aj $g$ je surjektívne.
Časť o injektívnosti bola tento semester ako jedna z domácich úloh - nebudem k nej sem teda písať detailnejší komentár.
Dôkaz časti o surjekciách je tiež pomerne ľahký.
Z uvedených dvoch tvrdení ľahko dostaneme takéto pozorovanie - úmyselne sformulované v podobe, v akej sa nám bude o chvíľu hodiť:
Fakt 1. Nech $\Zobr fXY$ a $\Zobr gYZ$ sú zobrazenia. Ak $g\circ f$ je bijektívne zobrazenie, tak $g$ je surjekcia a $f$ je injekcia.
Existencia jednostranného inverzného zobrazenia
Vieme, že k zobrazenie $\Zobr fXY$ existuje inverzné zobrazenie práve vtedy, keď $f$ je bijektívne.
Inverzné zobrazenie je zobrazenie $\Zobr gYX$ také, že
\begin{align*}
g\circ f&=id_X\\
f\circ g&=id_Y
\end{align*}
Skúsme sa pozrieť tieto dve rovnosti tak, že si budeme všímať každú zvlášť. Sú podobné - iba sa vymenili úlohy zobrazení $f$ a $g$ - takže si skúsme napríklad všímať podmienku
$$g\circ f=id_X.$$
Z toho, čo sme si povedali vyššie (Fakt 1), je jasné, že ak platí takáto rovnosť, tak $g$ musí byť surjektívne a $f$ musí byť injektívne.
Môžete sa stretnúť s terminológiou, že ak platí $g\circ f=id_X$, tak hovoríme, že $g$ je
ľavé inverzné zobrazenia k $f$ a obrátene, zobrazenie $f$ je pravé inverzné ku $g$.
Chceme sa pozrieť na tvrdenia, ktoré sú v istom zmysle obrátené:
Ak o zobrazení $f$ vieme, že je injektívne, bude existovať $g$ s takouto vlastnosťou?
Ak o zobrazení $g$ vieme, že je surjektívne, bude existovať $f$ s takouto vlastnosťou?
Začnime s injektívnosťou.
Fakt 2. Ak $X\ne\emps$ a $\Zobr fXY$ je injektívne zobrazenie, tak existuje $\Zobr gYX$ také, že $g\circ f=id_X$.
Predpoklad, že $X\ne\emps$ skutočne potrebujeme. Konkrétne v prípade, že $Y\ne\emps$ máme prázdne zobrazenie $\emps\to Y$ a nemáme žiadne zobrazenie $Y\to\emps$.
Chceme zobrazenie $\Zobr gYX$ také, že $g\circ f=id_X$, t.j. ak sme sa z nejakého prvku $x$ dostali po "$f$-šípke" do $y$, tak "$g$-šípka" by mala tento prvok poslať späť na $x$. To nám dáva v podstate návod, ako má $g$ vyzerať; treba si ale ešte rozmyslieť, čo spravíme s prvkami v $Y$, na ktoré sa nič nezobrazilo.
Dôkaz. Predpokladáme, že $X\ne\emps$, zoberme si teda jeden konkrétny prvok $x_0\in X$. Definujme teraz $\Zobr gYX$ predpisom:
$$g(y)=
\begin{cases}
x_0 & \text{ak }y\notin f[X], \\
x & \text{také, že }y=f(x)\text{ ak }y\in f[X].
\end{cases}
$$
Tento predpis skutočne definuje zobrazenie. Každému prvku z $y$ sme niečo priradili. A vďaka
injektívnosti zobrazenia $f$ sme žiadnemu prvku z~$Y$ nepriradili viacero prvkov.
Súčasne priamo z definície zobrazenia $g$ vidíme, že pre všetky $x\in X$ platí $g(x)=x$, teda platí aj rovnosť $g\circ f=id_X$. Tým sme teda dokázali Fakt 2.$\square$
Fakt 3. Ak zobrazenie $\Zobr gYX$ je surjektívne, tak existuje zobrazenie $\Zobr fXY$ také, že $g\circ f=id_X$.
Dôkaz. Pretože $g$ je surjektívne, pre každé $y\in Y$ je množina
$$f^{-1}[\{y\}]=\{x\in X; f(x)=y\}$$
neprázdna.
Vyberme z tejto množiny jeden prvok a ten označme ako $g(y)$. Takto definované zobrazenie $g$ skutočne spĺňa $(\forall x\in X)g(f(x))=x$. Tým je tvrdenie dokázané.$\square$
Súvis s axiómou výberu
Zdôrazním, že v predošlom dôkaze sme robili naraz nekonečne veľa výberov - na tomto mieste sme použili
axiómu výberu.
Dokonca platí, že Fakt 3 je ekvivalentný s axiómou výberu.
Pridám ešte aj linku na dôkazy týchto vecí v inom topicu (k inému predmetu):
viewtopic.php?t=68