Obe matice môžeme riadkovými úpravami upraviť na redukovaný tvar.Pre zadané podpriestory $S_1=[\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3]$ a $S_2=[\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3]$ priestoru $(\mathbb Z_7)^4$ zistite:
a) Či platí $S_1\subseteq S_2$.
b) Či platí $S_2\subseteq S_1$.
Uveďte aj zdôvodnenie a výpočty, ktorými ste sa dostali k svojej odpovedi.
Podpriestor $S_1$ je generovaný vektormi:
\begin{align*}
\vec a_1&=(2,1,4,5)\\
\vec a_2&=(1,3,0,5)\\
\vec a_3&=(3,5,6,4)
\end{align*}
Podpriestor $S_2$ je generovaný vektormi:
\begin{align*}
\vec b_1&=(1,2,5,3)\\
\vec b_2&=(4,3,3,2)\\
\vec b_3&=(2,3,1,0)
\end{align*}
\begin{gather*}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 4 & 5 \\
1 & 3 & 0 & 5 \\
3 & 5 & 6 & 4
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 & 6 \\
1 & 3 & 0 & 5 \\
1 & 4 & 2 & 6
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 & 3 \\
4 & 3 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 & 3 \\
1 & 6 & 6 & 4 \\
1 & 5 & 4 & 0
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{gather*}
Spoiler:
\begin{align*}
S_1&=[(1,0,1,2),(0,1,2,1)]\\
S_2&=[(1,0,1,0),(0,1,2,0),(0,0,0,1)]
\end{align*}
To, že $S_2\nsubseteq S_1$ môžeme zdôvodniť aj na základe dimenzie; $\dim(S_2)=3>2=\dim(S_1)$. Alebo môžeme jednoducho skontrolovať, či vektory generujúce $S_1$ patria do $S_2$.
Inklúzia $S_1\subseteq S_2$ platí, ľahko skontrolujeme, že oba vektory generujúce $S_1$ sú lineárne kombinácie vektorov generujúcich $S_2$. (Vieme, že pri hľadaní koeficientov sa stačí pozrieť na tie miesta, v ktorých sú vedúce jednotky.)
\begin{align*}
(1,0,1,2)&=(1,0,1,0)+2\cdot(0,0,0,1)\\
(0,1,2,1)&=(0,1,2,0)+(0,0,0,1)
\end{align*}