Prednášky LS 2023/24 - algebra

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Text s poznámkami k prednáške sa dá nájsť tu: https://msleziak.com/vyuka/2023/algtext/
Táto stránka obsahuje text s poznámkami k predmetom Algebra 1,2,3 - tento text budem ešte počas semestra upravovať.

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (19.2):
Na začiatku som povedal, že vlastne viaceré témy, ktoré zaberú zhruba dve tretiny semestra, sa dajú predstaviť tak, že sa pozeráme na nejakú reláciu ekvivalencie medzi štvorcovými maticami. Pričom to vždy bude tak, že by sme chceli nájsť v každej triede ekvivalencie čo najjednoduchšieho reprezentanta.
V jednom prípade sa budeme zaoberať symetrickými maticami, ktoré súvisia s kvadratickými formami - dostaneme tak kongruenciu matíc. V druhom prípade sa budeme zaoberať reprezentáciou lineárnych transformácií pomocou matíc a dospejeme k pojmu podobnosť matíc. Pri tom sa prirodzene dostaneme aj k vlastným hodnotám a vlastným vektorom; čo sú pomerne dôležité pojmy, ktoré majú veľa aplikácií.
Potom sme sa začali venovať skalárnym súčinom, čo je prvá téma tohto semestra.
Euklidovský vektorový priestor. Definícia skalárneho súčinu, príklady, základné vlastnosti.
Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti (Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť).
Na konci som ešte zadefinoval kolmé (ortogonálne) vektory a ukázal, že nenulové ortogonálne vektory sú na seba kolmé.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (26.2):
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.)
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. (Súčasne dostávame, že ak máme nejaké ortonormálne vektory, tak sa dajú doplniť na ortonormálnu bázu.)
Existencia ortonormálnej bázy nám súčasne hovorí, že každý skalárny súčin sa "podobá" na štandardný skalárny súčin - toto som stihol spomenúť iba veľmi stručne na konci prednášky, nabudúce sa k tomu vrátim.)

[Martin Sleziak]

3. prednáška (1.3.):
Ortonormálna báza:
Z existencie ortonormálnej bázy vlastne vyplýva, že každý priestor zo skalárnym súčinom je v podstate rovnaký ako $\mathbb R^n$ so štandardným skalárnym súčinom. (Keby sme to chceli povedať formálnejšie, tak by sme definovali pojem izomorfizmus euklidovských vektorových priestorov. T.j. zobrazenie, ktoré je lineárny izomorfizmus a navyše zachováva aj skalárny súčin. Tomuto pojmu som sa detailne nevenoval, iba som ho stručne spomenul.)
Ortogonálny doplnok:
V konečnorozmere platí Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.) Ortogonálna projekcia.
V konečnorozmere platí $S=S^{\bot\bot}$ a $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Spomenul som, že v nekonečnorozmerných priestoroch to vo všeobecnosti neplatí, kontrapríklad sa dá nájsť v poznámkach a aj tu na fóre: viewtopic.php?t=1654
Na jeho zvládnutie však treba vedieť základné veci o súčtoch nekonečných radov - tie by ste mali preberať na predmete Matematická analýza (2) niekedy koncom tohto semestra. Takže ak vás takéto niečo zaujíma, môžete sa k takýmto príkladom neskôr vrátiť. (Na tomto predmete ale pre nás budú zaujímavé hlavne konečnorozmerné priestory. Čiže ak tento príklad odignorujete, nijako vám nebude chýbať - zdalo sa mi však rozumné upozorniť na to, že niektoré z preberaných vecí platia v ľubovoľnom euklidovskom priestore, niektoré sme dokázali iba pre konečnorozmerné vektorové priestory a vo všeobecnosti nemusia platiť.)

Kvadratické formy. Definícia. Vyjadrenie pomocou symetrickej matice. Na konkrétnom príklade sme videli, že sme vedeli nejakú kvadratickú formu previesť na tvar $y_1^2+y_2^2-y_3^2$; a niečo podobné uvidíme nabudúce všeobecne (pod názvom kanonický tvar kvadratickej formy). Na tomto konkrétnom príklade sme videli, že nám vyšiel vzťah medzi príslušnými symetrickými maticami určený ako $D=PAP^T$, toto bude zodpovedať definícii kongruentných matíc (tiež bude nabudúce):

[Martin Sleziak]

4. prednáška (11.3.):
Kanonický tvar. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Dôkaz sme urobili doplnením na štvorec, na cvičeniach uvidíme, že sa dá hľadať aj pomocou riadkových a stĺpcových operácií.)
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Kladná definitnosť. Definícia kladnej a zápornej (semi)definitnosti. Symetrická matica $A$ je kladne definitná p.v.k. $A=PP^T$ pre nejakú regulárnu maticu $P$. Z tejto časti nám ešte zostáva ukázať Sylvestrovo kritérium.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (18.3.):
Sylvestrovo kritérium. Ako pomocné tvrdenie pri odvodení Sylvestrovho kritéria sme dostali, že ak sú rohové determinanty nenulové, tak symetrická matica $A$ je kongruentná s diagonálnou maticou $\operatorname{diag}(D_1,D_2/D_1,D_3/D_2,\dots,D_n/D_{n-1})$. Ukázali sme, že symetrická matica je kladne definitná p.v.k pre rohové determinanty platí $D_1>0, D_2>0, \ldots, D_n>0$.

Kladná (záporná) definitnosť súvisí s extrémami funkcií viac premenných. Viac sa o niečom takomto môžete dozvedieť na nejakých analytických predmetoch. Ale pridám aspoň linky na niektoré relevantné články na Wikipédii: Second partial derivative test a Hessian matrix. Niečo som napísal aj na fórum v časti k inému predmetu: viewtopic.php?t=1428

Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice vektora pri prechode k novej báze.
Súčasne sme si ukázali, ako vyjadrenie súradníc vektora a matice prechodu vieme zapísať maticovo. A aspoň stručne som povedal niečo k tomu, že odvodenie pomocou takýchto maticových rovností síce funguje iba $V=F^n$; ale cez izomorfizmus to vieme preniesť na ľubovoľný konečnorozmerný priestor.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (25.3.):
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé.
Definícia charakteristického polynómu. Ukázali sme si, ako hľadať vlastné čísla a vlastné vektory. (Vlastné čísla sú presne korene charakteristického polynómu a vlastné vektory k danej vlastnej hodnote vieme nájsť riešením vhodnej homogénnej sústavy rovníc.)
Ukázali sme si jeden príklad, kde sme našli $P$ a $D$ tak, že $PAP^{-1}=D$. Na inom príklade sme si ukázali, že sa môže stať aj to, že taká diagonálna matica neexistuje.

[Martin Sleziak]

7. prednáška (8.4.):
Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé.
Súvis niektorých koeficientov charakteristického polynómu so stopou a determinantom. Niečo k tejto téme je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=642
Podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm (a teda rovnaké vlastné čísla, determinant, stopu).

Ortogonálna podobnosť. Zadefinovali sme ortogonálne matice a ortogonálnu podobnosť. (A vysvetlili sme si, že matica je ortogonálna p.v.k. riadky/stĺpce tvoria ortonormálnu bázu v $\mathbb R^n$.)
Dokázali sme Schurovu vetu: Ak má matica všetky vlastné hodnoty reálne, tak je podobná s hornou trojuholníkovou maticou.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (15.4.):
Ortogonálna podobnosť.
Dokázali sme, že reálna symetrická matica má všetky vlastné hodnoty reálne. Z toho sme (spolu so Schurovou vetou) už dostali vetu o hlavných osiach - každá symetrická reálna matica je ortogonálne podobná s diagonálnou maticou.

Upozornil som na to, že sme využívali aj základnú vetu algebry, t.j. tvrdenie, že polynóm stupňa $n$ nad poľom $\mathbb C$ sa dá rozložiť na súčin $n$ koreňových činiteľov. (Touto vetou sa budeme ešte zaoberať pri polynómoch - ale nebudeme je dokazovať; dôkaz nie je jednoduchý.)

Pri výpočtoch, je užitočné vedieť, že pri symetrickej matici sú vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným číslam na seba kolmé: viewtopic.php?t=1691
Túto vetu som na prednáške nerobil - dá sa pozrieť v texte, budete ju robiť aj na cvičeniach.

Ortogonálne matice. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Na cvičeniach sa pozrieme na to, ako vyzerajú ortogonálne matice $2\times2$ a že zodpovedajúce transformácie sú rotácie a zloženia rotácie s osovou symetriou. (Zatiaľ sme si povedali, že na základe zachovávania dĺžky a kolmosti už máme aspoň nejakú geometrickú predstavu o tom, ako zhruba by mali vyzerať zodpovedajúce lineárne zobrazenia.)

Aspoň stručne som povedal niečo o tom, čo vieme z tejto teórie dostať pre krivky druhého rádu v rovine. (Viac detailov sa dá pozrieť v texte - tu som to spomenul skôr ako poznámku bokom; aby bolo vidno, prečo sme nazvali tento výsledok veta o hlavných osiach a že to súvisí s nejakou geometriou. Nie je to vec, ktorú by som skúšal - napokon keď som o niečom takomto hovoril, tak som preskočil kopec detailov, ktoré by bolo treba zdôvodniť, ak by sme to robili poriadne.)

Týmto sme vlastne ukončili to, čo chceme na tejto prednáške povedať k téme podobnosti - niekedy aspoň stručne niečo poviem o Jordanovom normálnom tvare. (Opäť iba informatívne - nebudeme sa tejto téme venovať detailne.)

Okruhy. Základné definície (zatiaľ sme stihli povedať čo je okruh, komutatívny okruh, okruh s jednotkou).
Príklady: $(\mathbb Z,+,\cdot)$, ľubovoľné pole.
Párne čísla $(2\mathbb Z,+,\cdot)$ - príklad okruhu, ktorý nemá jednotku.
Okruh matíc $(M_{n,n}(F),+,\cdot)$ - pre $n\ge2$ dostaneme nekomutatívny okruh.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (22.4.):
Okruhy.
Zopakovali sme definície z minula (okruh, komutatívny okruh, okruh s jednotkou).
Spomenuli sme platnosť tvrdení takého typu ako $a0=0$ alebo $(-a)b=-ab$. (Bez dôkazu - videli sme do istej miery podobné tvrdenia pri vektorových priestoroch.)
Videli sme aj dve konštrukcie ako z okruhov vyrábať nové okruhy, konkrétne $R_1\times R_2$ a $R^M$, kde $M$ je ľubovoľná indexová množina. (Spomenuli sme, že existuje aj karteziánsky súčin ľubovoľného systému množín/okruhov: $\prod\limits_{i\in I} R_i$; ale detailnejšie som o ňom nehovoril.)
Podokruh. Príklady podokruhov. (Ukázali sme, že podokruh opäť tvorí okruh.)
Okruh bez deliteľov nuly, obor integrity, teleso, pole. (A viacero príkladov na tieto pojmy.)
V okruhu bez deliteľov nuly sa dá krátiť nenulovým prvkom.
Homomorfizmy. Definícia homomorfizmu a izomorfizmu okruhov. Niekoľko príkladov. Ako jeden z príkladov sme videli, že komplexné čísla sa dajú popísať ako okruh matíc vhodného tvaru: viewtopic.php?t=571
Okruhy polynómov. Polynómy - definícia, stupeň polynómu, Okruh polynómov. Zadefinovali sme ako sa polynómy sčitujú a násobia. Ukázali sme si na príklad $\mathbb Z_2$ a polynómov $x^2+x$ a $0$, že je rozdiel medzi polynómami a polynomickými funkciami. Neskôr uvidíme, že pre nekonečné polia už takýto problém nenastane: viewtopic.php?t=1349
Veta o delení so zvyškom. Pre okruh polynómov $F[x]$ nad poľom som zatiaľ dokázal len existenciu, nabudúce túto vetu pripomeniem a urobím dôkaz jednoznačnosti. (A tiež pre porovnanie sa pozrieme na vetu o delení so zvyškom pre okruh $\mathbb Z$.)