Úloha 1.2.6. - Pytagorova, kosínusová, rovnobežníková veta v euklidovskom priestore

[alex.diko]

$\newcommand{\skal}[2]{\left\langle #1, #2\right\rangle}$ $\newcommand{\vekalf}{\vec{\alpha}}$ $\newcommand{\vekbet}{\vec{\beta}}$ $\newcommand{\velk}[1]{|#1|}$

Začnem najprv $\textbf{b) }\velk{\vekalf+\vekbet}^2=\velk{\vekalf}^2+\velk{\vekbet}^2+2\skal{\vekalf}{\vekbet}$ (kosínusová veta)
$\textbf{Dôkaz:}$
\begin{align*}
\velk{\vekalf+\vekbet}^2&=\sqrt{\skal{\vekalf+\vekbet}{\vekalf+\vekbet}}^2\; (\text{Definícia veľkosti vektora}) \\
&=\skal{\vekalf+\vekbet}{\vekalf+\vekbet}\\
&=\skal{\vekalf}{\vekalf+\vekbet}+\skal{\vekbet}{\vekalf+\vekbet}\;(\text{Vlastnosť skalárneho súčinu (ii)})\\
&=\skal{\vekalf+\vekbet}{\vekalf}+\skal{\vekalf+\vekbet}{\vekbet}\;(\text{Vlastnosť skalárneho súčinu (i))}\\
&=\skal{\vekalf}{\vekalf} + \skal{\vekbet}{\vekalf} + \skal{\vekalf}{\vekbet} + \skal{\vekbet}{\vekbet}\; (\text{Vlastnosť skalárneho súčinu (ii)})\\
&=\skal{\vekalf}{\vekalf} + \skal{\vekalf}{\vekbet} + \skal{\vekalf}{\vekbet} + \skal{\vekbet}{\vekbet} \;(\text{Vlastnosť skalárneho súčinu (i)})\\
&=\velk{\vekalf}^2+2\skal{\vekalf}{\vekbet}+\velk{\vekbet}^2 \; \text{(Definícia veľkosti vektora)}
\end{align*}

$\textbf{a) } \skal{\vekalf}{\vekbet}=0\Rightarrow\velk{\vekalf+\vekbet}^2=\velk{\vekalf}^2+\velk{\vekbet}^2$ (Pytagorova veta)
$\textbf{Dôkaz:}$
Použitím kosínusovej vety dostávame $\skal{\vekalf}{\vekbet}=0\Rightarrow\velk{\vekalf+\vekbet}^2=\velk{\vekalf}^2+2\cdot0+\velk{\vekbet}^2$

$\textbf{c) } \velk{\vekalf+\vekbet}^2+\velk{\vekalf-\vekbet}^2=2(\velk{\vekalf}^2+\velk{\vekbet}^2)$ (rovnobežníkové pravidlo)
$\textbf{Dôkaz:}$
Lema: $\velk{-\vekalf}^2=\skal{-\vekalf}{-\vekalf} = (-1)\cdot(-1)\skal{\vekalf}{\vekalf}
=\velk{\vekalf}^2$ (2-krát som použil vlastnosť (iii) skalárneho súčinu)
Použitím kosínusovej vety na vektory $\vekalf, -\vekbet$ dostaneme
\begin{align*}
\velk{\vekalf+(-\vekbet)}^2&=\velk{\vekalf}^2+2\skal{\vekalf}{-\vekbet}+\velk{-\vekbet}^2\\
&=\velk{\vekalf}^2-2\skal{\vekalf}{\vekbet}+\velk{-\vekbet}^2\;\text{(Vlastnosť skalárneho súčinu (iii))}\\
&=\velk{\vekalf}^2-2\skal{\vekalf}{\vekbet}+\velk{\vekbet}^2\;\text{(Lema)}\\
\end{align*}
Potom opäť z kosínusovej vety $\velk{\vekalf+\vekbet}^2+\velk{\vekalf-\vekbet}^2=\velk{\vekalf}^2+\velk{\vekbet}^2+2\skal{\vekalf}{\vekbet}+
\velk{\vekalf}^2-2\skal{\vekalf}{\vekbet}+\velk{\vekbet}^2=2(\velk{\vekalf}^2+\velk{\vekbet}^2)$

[Martin Sleziak]

Takéto riešenie je v poriadku. (Značím si 1 bod.)
Túto úlohu sme so skupinou 1INF1 zatiaľ nerobili - asi by sme sa k nej mohli vrátiť aj na cviku.