Komplexné čísla 2023/24

[Martin Sleziak]

Dohodli sme sa, že by som mohol niekedy porozprávať pre 1MAT niečo o komplexných číslach (pre tých čo budú mať záujem).
Asi to bude užitočné najmä pre tých, ktorí komplexné čísla na strednej škole nemali - ale aj niekto, čo ich už ovláda, si môže veci o nich zopakovať.

Termín. Bolo by to cca na dve 90-minútové hodiny; možno o čosi kratšie.
Niekedy na diskrétnej matematike sa skúsime dohodnúť definitívne, ale zatiaľ sme sa rozprávali o tom, že:
* Urobili by sme to niekedy bo veľkonočných sviatkoch.
* Ako jeden rozumný termín nám zdal pondelok 18.10 - t.j. v čase cvičenia z DM2. Toto cvičenia býva raz za dva týždne - čiže v niektorých týždňoch, kde nebude cviko, by mohli byť komplexné čísla.
* Ako ďalšiu možnosť ste navrhli pondelok 9.50. (Zdá sa, že je vtedy voľných zopár akvárií - takže niektoré z nich by sme si rezervovali.)

Obsah. Komplexné čísla sú určite vec, ktorú by mal ovládať každý absolvent matfyzu. Na tej prednáške by som prebral zhruba to, čo je v dodatku venovanom komplexným číslam v texte s poznámkami k prednáške z Algebre 1 pre 1INF.

• Algebraický tvar komplexného čísla, počítanie s ním.
• Goniometrický tvar komplexného čísla, prevod medzi algebraickým a goniometrickým tvarom, počítanie s goniometrickým tvarom - Moivrova veta.
• Riešenie kvadratických rovníc (s reálnymi aj komplexným koeficientmi.)
• Riešenie binomických rovníc

Čiže je na vás pozrieť sa, či veci, ktoré tam sú ovládate a podľa toho sa rozhodnúť, či by takáto prednáška bola užitočná. To čo tam je, sa dá stihnúť za necelé dve prednášky.

Môžem to ale ešte aj stručne zhrnúť takto - ak viete riešiť úlohy takého typu aké tu vymenujem, tak sa tam asi nedozviete nič nové:

• $(1+\sqrt 3i)\cdot(\sqrt 3+i)=\ldots$?
• Nájdite goniometrický tvar čísla $(1+i)(1-i)$.
• Nájdite komplexné riešenia rovnice a) $x^2-4x+13=0$; b) $x^2-(1+2i)x-3+i=0$. (T.j. kvadratické rovnice s reálnymi a komplexnými koeficientmi.)
• Vyriešte rovnice: a) $z^2=\frac{1-3i}{1+3i}-\frac15+\frac35i$; b) $z^6=i$; c) $\frac{z^4}8+i\sqrt3=-1$; d) $z^4=1+i$. (T.j. rovnice tvaru $x^n=b$, kde $n$ je zadané prirodzené číslo a $b$ je zadané komplexné číslo.)
• Viete pomocou komplexných čísel dostať vzorec pre $\cos(x+y)$?

Samozrejme, tým že budete počúvať dve prednášky niečo o komplexných číslach si ich určite neosvojíte. Na to, aby si človek zvykol s nimi robiť a vedel ich používať, určite treba, aby si aspoň samostatne vyskúšal niečo s nimi vyrátať. (Nejaké cvičenia sú aj v texte k prednáške v časti o komplexných číslach.)

Na druhej strane je to určite tak, že na komplexné čísla na rôznych predmetoch občas narazíte (resp. už ste ich určite aj párkrát použili).

[Martin Sleziak]

Keď už spomínam komplexné čísla tak napíšem aj to, že sa (aspoň podľa informačného listu) preberajú aj na predmete
1-EFM-512 Úvod do vysokoškolskej matematiky (2). (Predmety Úvod do vysokoškolskej matematiky 1 a 2 sú výberové na odboroch PMA a EFM; pokiaľ viem, tak občas si niektoré z týchto predmetov zapísali aj niektorí študenti 1MAT (ak im sadol do rozvrhu).

Tu sú nejaké materiály ku komplexným číslam z predmet Základy matematiky 2.

[Martin Sleziak]

Dohodli sme sa, že komplexné čísla budú v pondelok 9.50 a spravíme to prvé dva pondelky po veľkonočných sviatkoch - t.j. 8. apríla a 15. apríla.
Mali by sme to v pohode stihnúť za tieto dve dvojhodinovky. (Od 11.30 mám ďalšiu výuku - takže asi skončíme o kúsoček skôr ako až 11.20.)
Rezervoval som v AISe akvárium M-IX.
Ak by sa dovtedy niečo zmenilo - či už čo sa týka termínu alebo miestnosti - tak samozrejme dám vedieť.

[Martin Sleziak]

Čo sme stihli zatiaľ:
Zadefinovali sme komplexné čísla a ukázali, ako sa s nimi počíta (súčet, súčin, delenie). Ukázali sme si, že sčitovanie a násobenie komplexných čísel sa "správa rozumne" (t.j. že komplexné čísla tvoria pole).
Povedali sme si základné veci o komplexne združených číslach a absolútnej hodnote komplexného čísla.
Ukázali sme si goniometrický tvar komplexného čísla a tiež to, ako goniometrický tvar súvisí s násobení - teda Moivrovu vetu.
Ukázali sme si, že komplexné čísla môžu pomôcť odvodiť vzorec pre $\cos nx$ a $\sin nx$. (Aj keď sme to spravili len pre prípady $n=3$ a $n=4$, asi bolo jasné, že podobne to funguje pre ľubovoľné $n$.)
Dajú sa použiť pri veľa ďalších trigonometrických vzorcoch, toto bol len jeden príklad možného použitia. Iná vec čo by sa dala urobiť pomocou komplexných čísel je niečo takéto: How can we sum up $\sin$ and $\cos$ series when the angles are in arithmetic progression?

Zhruba som išiel podľa týchto poznámok a zašiel som vetu B.2.3.

[Martin Sleziak]

Ukázali sme si, ako sa dajú riešiť binomické rovnice a kvadratické rovnice (s reálnymi koeficientmi resp. s komplexnými koeficientmi).
Spomenul som, že existuje exponenciálny zápis komplexného čísla.
A tiež to, že komplexné čísla sa nedajú "rozumne" usporiadať - takým spôsobom, že by sme dostali usporiadané pole.

O tomto som už nehovoril, ale spomeniem fakt, že v komplexných číslach má každý polynóm koreň. (Tomuto výsledku sa hovorí základná veta algebry. Dôkaz nie je jednoduchý.)