msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)


Informácie o skúške nájdete tu.

1. prednáška (24.9.)
Binárne operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý a pravý neutrálny prvok, jednoznačnosť- vo forme rovnosti ľavého a pravého neutrálneho prvku pre BO na množine $A$, komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok (jednoznačnosť pre asociatívne operácie - vo forme rovnosti ľavého a pravého inv. prvku pre dané $a\in A$, ak oba existujú).

Zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní aj pre viac ako 3 prvky sme spomínali, nerobili sme žiadny dôkaz - ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Len chcem, aby ste rozumeli, o čo tam ide, budeme to bežne používať bez nejakých ďalších "komentárov" aj v priebehu ďalších prednášok. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať.

2. prednáška (1. 10. 2024)
Grupy. Definícia grupy a viaceré príklady. (Nemali sme zatiaľ nijaký príklad nekomutatívnej grupy - budete také príklady vidieť na cvičeniach.)
Dokázali sme základné vlastnosti grúp: zákony o krátení, $(a^{-1})^{-1}=a$, $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.
Definovali sme aj tzv. komutatívne grupy.
Polia.
Definovali sme polia, uviedli najjednoduchšie príklady, dokázali sme základné vlastnosti polí (výber z tvrdenia 3.3.4 z textu prednášky).
Spravili sme dôkaz, že ak je $n$ prvočíslo, je $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ pole (aj že pre zložené číslo $n$ to pole nie je).
Spomenul som, že vo všeobecnosti ( hlavne pre väčšie prvočíslo $n$) je na hľadanie inverzného prvku vhodný rozšírený Euklidov algoritmus, viď napr. tu, ktorý sa dá použiť na dosť rýchly výpočet. Tento algoritmus budeme spomínať v trochu všeobecnejšom kontexte aj v Algebre 3 (tá je ale nepovinná). Nejaké odkazy sú aj tu: viewtopic.php?t=298. Ukážka konkrétneho výpočtu: viewtopic.php?t=1346. Pre malé prvočísla sa inverzné prvky dajú "ľahko zistiť" prebratím možností, ukázali sme si to pre prvočíslo 5.
Nehovorili sme o $n\times a$ a $a^n$ (definícia 3.3.12 a príklad 3.3.13), bolo by fajn, keby ste si to pozreli. Zopakujeme si to v momente, keď to budeme niekde potrebovať.

Prvú sadu domácich úloh nájdete ju na tejto linke DU01 (je to linka na subor du01.pdf na "mojej" stránke).

Poznámky ku riešeniam a vyskytujúcim sa chybám sú tu a/alebo tu.

3. prednáška (8. 10. 2024)
Vektorové priestory. Zadefinovali sme vektorový priestor. Príklady - $F^n$ nad $F$, $F^M$ nad $F$, $F^{\{1,2,3\}}$ nad $F$, $\mathbb R^{\mathbb R}$ nad $\mathbb R$. Naznačili sme, že nie každá komutatívna grupa môže byť grupa vektorov v nejakom vektorovom priestore (ukázali sme, že $(Z_6,\oplus)$ nie je grupa vektorov pre v.p. nad $Z_2$ ani nad $Z_3$, povedal som, že si to môžete ešte overiť, napr. nad poľom $Z_5$ a že za nejaké 2-3 týždne to budeme vedieť dokázať všeobecne). Veta o základných vlastnostiach počítania vo vektorových priestoroch ($0\cdot \vec\alpha=\vec0,...$, veta 4.1.6, dúfam.)

4. prednáška (15. 10. 2024)
Podpriestory. Definícia a niekoľko príkladov. Každý podpriestor obsahuje $\vec 0$ (daného vektorového priestoru). Kritérium vektorového podpriestoru. Lema 4.3.5 (tu som trochu "predbehol" skriptá, dôkaz som nerobil, máte/môžete si ho pozrieť sami - je to zovšeobecnenie jednej z implikácií z "kritéria podpriestoru")
Prienik dvoch podpriestorov je opäť podpriestor, aj som ukázal, ako sa to dá použiť pri riešení príkladov.
Prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor. (Trochu sme sa rozprávali o tom, čo vlastne je prienik systému množín a čo znamená označenie $\bigcap\limits_{i\in I} X_i$. Aj keď príklady, na ktorých sme si to ukázali boli iba také veľmi jednoduché - ako: $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N} (i,\infty)=\emptyset$ alebo $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N\setminus \{0\}} \langle0,\frac1{i})=\{0\}$, $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N\setminus \{0\}} (0,\frac1{i})=\emptyset$ - naše príklady boli trochu iné, ale podobné)

Lineárna kombinácia. Definícia lineárnej kombinácie, koeficienty lin. kombinácie. Lineárna kombinácia nula vektorov (t.j. prázdnej postupnosti vektorov) je (definitoricky) $\vec 0$.

Máte zadania novej domácej úlohy. Tu je linka.

Riešenia a komentáre k domácej úlohe sú tu.

5. prednáška (22. 10. 2024) Lineárny obal $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]$ vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$. Lineárny obal je podpriestor, potom sme ho už nazývali podpriestor generovaný vektormi $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.)
$[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m]$ práve vtedy, keď 1. $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in [\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m]$ a 2. $\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m\in [\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]$.
Vektor $\vec\beta$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ práve vtedy, keď $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n,\vec\beta]$.
Lineárna závislosť/nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady.
Ak je jeden vektor je lineárne nezávislý, tak je to nenulový vektor.
Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných/predchádzajúcich. Steinitzova veta o výmene a jej dôkaz (na stránke, ktorá je tu uvedená je veľmi podobný, ako ten, ktorý som povedal, rozdiely sú v malých detailoch argumentácie - to, čo som povedal zhruba zodpovedá tomu, čo je v skriptách). Dokázal som len "bázu" indukcie, povedal som, že si máte indukčný krok pozrieť sami a že ho budem skúšať len v prípade, že budete chcieť zo skúšky hodnotenie "A". (Nabudúce sa vrátim k tomu, ako sa Steinitzova veta používa, aj ju vysvetlime na konkrétnom príklade).
Ešte jedna veľmi dôležitá vec. Všimnite si, že v znení Steinitzovej vety sa NIKDE nevyskytuje slovo BÁZA!!! Pojem BÁZA budeme definovať až na budúcej prednáške, preto tam ani nemá čo robiť!

Máte zadania novej domácej úlohy. Tu je linka.

Nejaké komentáre k tejto úlohe sú tu (v tom komentári sú úlohy v inom poradí, pohľadajte si správne číslo).

6. prednáška (29. 10. 2024)
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru.
Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. Podpriestor konečnorozmerného priestoru je konečnorozmerný (túto vetu som povedal, ale nedokázal) a vzťah dimenzie priestoru, počtu LN vektorov, počtu generujúcich vektorov, dimenzie podpriestoru to boli nejaké dôsledky. Ak $S$ je podpriestor $V$ a $d(S)=d(V)$, tak $S=V$ (táto veta nebola na prednáške, dá sa to považovať za pomerne ľahké cvičenie).

Pripravujem domácu úlohu, možno bude ešte dnes, možno zajtra. Téma bude "podpriestory vektorových priestorov". Ospravedňujem sa, na toto som zabudol. Túto domácu úlohu som posunul na ďalší týždeň, máte ju teda v popise prenášky č. 7.

7. prednáška: (5. 11. 2024)
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť som dal na samostatné naštudovanie, t.j. ako DÚ.
Definícia matice nad poľom $F$. (ako "tabuľka" $m\times n$, ako zobrazenie $A\colon\{1,\dots,m\}\times\{1,\dots,n\}\to F$). Operácie s maticami. Matice sa dajú sčitovať, násobiť skalárom. $M_{m,n}(F)$ s týmito operáciami tvorí vektorový priestor (dimenzie $m\cdot n$ - ukázali sme si "bázové" vektory-matice, ktoré sme označili ako $E_{11},\dots, E_{mn}$). Nulová matica, jednotková matica $I$ (presnejšie $I_n$), transponovaná matica, symetrická a antisymetrická matica.
Riadková ekvivalencia a redukovaná trojuholníková matica. Zadefinovali riadkový priestor matice $A$, označili sme ho $V_A$, zadefinovaloi sme elementárne riadkové operácie (ERO typu 1, 2,3) a riadkovú ekvivalenciu matíc rovnakého typu ($A\sim B$). Ukázali sme si, že riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici (ako dôsledok bolo: $A\sim B \Rightarrow V_A=V_B$).

Máte zadania novej domácej úlohy. Tu je linka.
Tu nájdete komentáre k domácej úlohe.

Pripomínam, že 14. 11. o 18.10 bude prvá písomka z cvičení. Témy môžu byť do začiatku semestra, posledná téma budú príklady na overenie, či nejaké podmnožiny daného vektorového priestory sú jeho podpriestory, čiže tematicky sú posledné cvičenia zo "série" 4.2.1-4.2.7 (to samozrejme neznamená, že na písomke nemôžu byť príklady, ktoré v skriptách nenájdete - ale určite budú len také, ktoré tematicky zapadnú do vecí, ktoré boli na cvičeniach). Môžu byť aj jednoduché dôkazy (ale nie dôkazy liem a viet, ktoré boli na prednáške, to bude až na skúške). V rámci svojich riešení sa môžete odvolať na ktorúkoľvek lemu či vetu, ktorá bola na prednáška (v takom prípade je dobre aspoň veľmi približne sformulovať jej znenie, aby bolo vidieť, čo chcete pri svojej argumentácii použiť).
Písomka bude v posluchárni A (tam sa stretneme), F1 a F2 (tam sa potom časť z vás presunie).

Deň 14. 11. je "presunutie" zo stredy 13. 11., lebo vtedy sa koná celofakultná akcia a pán dekan dal preto na 13. 11. 2024 dekanské voľno. Pani prodekanka v rámci emailu, kde túto zmenu oznamovala napísala, že ak má niekto v tom čase telesnú výchovu, má príslušného učiteľa požiadať o uvoľnenie kvôli písomke, prípade náhradu.

8. prednáška: (12. 11. 2024)
Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar. Tiež sme ukázali, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé (dôkaz nebol formálny, len sme si ukázali jeho podstatu), čiže pomocou riadkových úprav matice na RTM vieme nájsť "peknú" bázu daného podpriestoru. Povedali a ilustrovali sme vetu/lemu, ktorá hovorí o tom kedy daný vektor $\vec\alpha \in F^n$ patrí do podpriestoru $V_A$ prislúchajúcemu ku matici $A$.

Pre redukované trojuholníkové matice $A, B$ rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$ (na tejto prenáške sme robili len implikáciu $\Rightarrow$, tú druhú sme robili hneď po definícii elem. riadkových operácií a riadkového priestoru matice). Z toho sme ako dôsledok dostaneme ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu matíc - toto sformulujeme na budúcej prednáške.

Odporúčam si samostatne pozrieť tieto veci:
* Príklad 5.2.16, ktorý ilustruje na konkrétnom príklade jeden z krokov dôkazu vety 5.2.15. (Hlavne v prípade, že vám ten dôkaz bol nebol jasný.)
* Poznámku 5.2.18, z ktorej vidno, že veci ktoré sme sa naučili, možno využiť aspoň na čiastočnú skúšku správnosti pri úprave na RTM.
* Poznámka 5.2.19 upozorňuje na istú nepresnosť, ktorej sa študenti často dopúšťajú a neskôr môže spôsobovať problémy pri využití elementárnych riadkových operácií na výpočet determinantov. (Aj o tomto možno bude reč na cviku.)

Písomka 14. 11. o 18.10 bude v troch posluchárňach. Bolo by dobre, keby ste prišli tesne po 18.00 aby sme mali čas sa usadiť a aby ste mohli o 18.10 začať riešiť úlohy z písomky. Oficiálne bude písomka do 19.40, i keď očakávam, že by ste mohli byť hotoví o 19.00. Študenti so špeciálnymi požiadavkami budú mať viac času (momentálne viem o 1 človeku, ktorý to potrebuje).
Študenti z 1. krúžku (1inf1, cvičí pani Pokorná) - choďte do posluchárne F1, vo všetkých prípadoch sa rozhodujte podľa cvičiacej/cvičiaceho
Študenti z 5. krúžku (1inf5, cvičí slečna Hronkovičová) - choďte do posluchárne F2
Študenti z krúžkov 2, 3, 4 (1inf2, 1inf3, 1inf4 - cvičia Sleziak, Makovník, Guričan) - choďte do posluchárne A

Na žiadosť niektorých kolegov sme dohodli nepovinnú informačnú prednášku o komplexných číslach, bude v pondelok 18. 11. o 14.00 v posluchárni F1 - tam sú aj všetky naše bežné prednášky. Prednáška je určená pre záujemcov, kto chce príde, kto nemá záujem, nepríde.

9. prednáška: (19. 11. 2024)
Riadková ekvivalencia a ďalšie súvisiace veci
Minule sme dokázali vetu, že pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$ Z toho sme ako na tejto predáške dôsledok dostali ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu matíc.
Definícia hodnosti matice.

Lineárne zobrazenia. Definícia, príklady, pre lin. zobr. $f\colon V\to W$ platí $f(\vec0_V)=\vec0_W$. Ekvivalentné podmienky pre lineárnosť zobrazenia - asi najdôležitejšia časť tu bola, že $f\colon U\to V$ (kde $U,V$ sú v.p. nad poľom $F$) je lineárne práve vtedy keď pre $a_1,\dots, a_n\in F$ a $\vec{\alpha_1},\dots,\vec{\alpha_n}\in U$ platí $f(a_1\vec{\alpha_1}+\dots+a_1\vec{\alpha_1})=a_1f(\vec{\alpha_1})+\dots+a_nf(\vec{\alpha_1})$.

Pre lin. zobr. napr. $f\colon F^2\to F^3$ platí $f(a,b)=f(a\epsilon_1+b\epsilon_2)=af(\epsilon_1)+bf(\epsilon_2)$. Ak "predpíšeme", že napr. $f(\epsilon_1)=(2,1,3)$, $f(\epsilon_2)=(-1,2,1)$, tak to znamená, že
$$
f(a,b)=f(a\epsilon_1+b\epsilon_2)=af(\epsilon_1)+bf(\epsilon_2)=a(2,1,3)+b(-1,2,1)=(2a-b,a+2b,3a+b)
$$
a teda vďaka tomu, že máme určené hodnoty $f(\epsilon_1)$ a $f(\epsilon_2)$, máme tým určené "celé" lin. zobr. $f$ a máme aj "pekný vzorček" na výpočet $f(a,b)$. (príklad na prednáške mal iné konštanty, iné čísla, ale bol podobný) a povedali sme, že potom maticu tohoto konkrétneho zobrazenia nazveme maticu
$$
\left(\begin{array}{ccc}
2 &1& 3\\
-1 &2 &1
\end{array}
\right)
$$
Ako zovšeobecnenie tohoto príkladu sme definovali maticu $A_f$ (ľubovoľného) lineárneho zobrazenia $f\colon F^m\to F^n$.

Lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov. (Základná veta o lineárnych zobrazeniach.)


Máte zadania novej domácej úlohy. Tu je linka.