msleziak.com

Dokážte, že pre každé kladné celé číslo $n$ platí
$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\frac1{2\sqrt n}.$$

Riešenie.
$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac1{2\sqrt n}$$
Výraz sme upravili tak, že sme čitateľ aj menovateľ rozšírili výrazom $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$.
A potom sme využili nerovnosť $\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$, t.j. $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}$.

Iné riešenie.
Stačí skontrolovať, že nasledujúce nerovnosti dostávame ekvivalentnými úpravami.
\begin{align*}
\sqrt{n+1}-\sqrt{n}&<\frac1{2\sqrt n}\\
\sqrt{n(n+1)}-n&<\frac12\\
\sqrt{n(n+1)}&<n+\frac12\\
n(n+1)&<\left(n+\frac12\right)^2\\
n^2+n&< n^2+n+\frac14\\
0&<\frac14
\end{align*}

Treba si dať pozor na to, že v jednom kroku sme umocňovali na druhú. To nie je vo všeobecnosti ekvivalentná úprava. Pokiaľ však o oboch stranách nerovnosti vieme, že sú nezáporné, tak je to v poriadku. (Okrem toho sme v prvom kroku násobili obe strany výrazom $\sqrt n$. Keďže pracujeme s prirodzenými číslami, tento výraz má kladnú hodnotu - čiže vynásobenie nerovnosti je ekvivalentná úprava.)

Je samozrejme veľa iných možností, ako by sa sme sa mohli ekvivalentnými úpravami zo zadanej nerovnosti dopracovať k nejakej nerovnosti, ktorá určite platí.

Pripomeniem, že aj na cviku sme sa rozprávali o tom, že si treba premyslieť či sú úpravy naozaj ekvivalentné (alebo aspoň to, či platí implikácia tým "správnym smerom" - tým smerom, ktorý potrebujeme). viewtopic.php?t=1164

Pridám ešte takúto linku, kde sa tiež dajú pozrieť nejaké možnosti, ako zdôvodniť túto nerovnosť: https://math.stackexchange.com/q/2243976

Komentáre k niektorým riešeniam:
Niektorí ste napísali, že tvrdenie idete dokazovať matematickou indukciou.
Pritom ste však v indukčnom nikde nepoužili indukčný predpoklad - čiže to vlastne bol priamy dôkaz a nie dôkaz indukciou.