msleziak.com

$\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Zistite, či $(\R^+\times\R, \square)$, kde pre každé $(a,b),(c,d)\in\R^+\times\R$ definujeme $$(a,b)\square(c,d)=(2ac,b+d),$$ je grupa.
Overte aj to, či daná binárna operácia je komutatívna. (Symbol $\R^+$ označuje množinu kladných reálnych čísel. Vo Vašom riešení jasne vyznačte odpovede na otázky, či to je grupa a či je operácia komutatívna.)

Riešenie:
Binárna operácia. Zrejmé. (Súčin dvoch kladných reálnych čísel je kladné reálne číslo. Súčet dvoch reálnych čísel je reálne číslo.)

Komutatívnosť. $(a,b)\square(c,d)=(2ac,b+d)=(2ca,d+b)=(c,d)\square(a,b)$.

Asociatívnosť.
$(a,b)\square((c,d)\square(e,f))=(a,b)\square(2ce,d+f)=(4ace,b+d+f)$
$((a,b)\square(c,d))\square(e,f)=(2ac,b+d)\square(e,f)=(4ace,b+d+f)$

Neutrálny prvok. Pre $a=1/2$ a $b=0$ máme $(1/2,0)\square(c,d)=(c,d)$. (Vďaka komutatívnosti to platí aj v opačnom poradí.)

Inverzný prvok. Ľahko sa overí, že inverzný prvok k prvku $(a,b)$ je $(\frac1{4a},-b)$. (Pretože $a\in\R^+$, máme $a\ne0$, a teda $\frac1{4a}$ existuje.)

Poznámka: Môžeme si všimnúť, že prvá súradnica výsledku závisí len od prvých súradníc operandov, podobne je to pri druhej súradnici. Mohli by sme si všimnúť, že vo všeobecnosti platí takéto tvrdenie:
Ak $(G,*)$, $(H,\circ)$ sú grupy, tak aj $G\times H$ tvorí grupu s operáciou $(a,b)\square(c,d)=(a*c,b\circ d)$. Ak sú obe grupy komutatívne, tak aj $(G\times H,\square)$ je komutatívna grupa.
Keby sme najprv dokázali túto vec, tak našu úlohu by sme potom mohli riešiť tak, že by sme zvlášť overili, či $(\R^+,*)$ s operáciou $a*c=2ac$ je komutatívna grupa a či $(\R,+)$ je komutatívna grupa.

To isté povedané inak - je to priamy súčin dvoch grúp: viewtopic.php?t=2110
Mohli by sme to riešiť tak, že by sme s každou grupou pracovali zvlášť.

Poznámky k riešeniam: Buď si treba uvedomiť, že operácia je komutatívna; alebo pri overovaní, či nejaká dvojica tvorí neutrálny/inverzný prvok kontrolovať, ako vyjde výsledok v oboch poradiach.

Bolo by dobre písať na konci riešenia odpoveď. (Ak otázka bola, či to je grupa; tak na konci - keď overíte, či platia jednotlivé podmienky - napíšte, či si myslíte, že je to grupa, alebo nie.)

Pripomeniem vec, ktorú som spomínal viackrát: Ak sme našli nejakého kandidáta na NP (alebo IP), mali by sme ho skúsiť dosadiť alebo si skúsiť rozmyslieť, či boli použité úpravy ekvivalentné: viewtopic.php?t=1164
(Ak sú všetky úpravy ekvivalentné, oplatí sa to napísať aj do riešenia - aby človek, ktorý ho opravuje, videl, že ste na takúto vec nezabudli.)