msleziak.com

Nech $(G,+)$ je komutatívna grupa a $H$ je jej podgrupa.
Z prednášky vieme, že
$$x\sim y \qquad\Leftrightarrow\qquad x-y\in H$$
je relácia ekvivalencie na množine $G$. (Využili sme ju pri definícii faktorovej grupy.)

Zoberme ľubovoľné dva prvky $x,y\in G$, budeme pracovať s ich triedami $[x]$ a $[y]$. Dokážte, že platí:
$$[x]+[y]=\{a+b; a\in[x], b\in[y]\}.$$

Riešenie.
Na ľavej strane máme súčet $[x]+[y]$, ktorý sme definovali ako triedu $[x+y]$.
Chceme ukázať rovnosť $[x+y]=\{a+b; a\in[x], b\in[y]\}$, môžeme sa pozrieť na každú inklúziu zvlášť.

$\boxed{\subseteq}$ Vieme, že
$$[x+y]=\{(x+y)+h; h\in H\}.$$
Teda každý prvok z tejto triedy môžeme zapísať v tvare
$$(x+y)+h=\underset{\in [x]}{\underbrace{x}}+\underset{\in [y]}{\underbrace{(y+h)}},$$
čiže ako súčet nejakého prvku z $[x]$ a nejakého prvku z $[y]$.

$\boxed{\supseteq}$ Zoberme si ľubovoľné $z=a+b$, kde $a\in[x]$, $b\in[y]$.
Potom máme $a=x+h$, $b=y+h'$ pre nejaké $h,h'\in H$. To znamená, že
$$z=(x+h)+(y+h')=(x+y)+(h+h').$$
Teda aj rozdiel $$z-(x+y)=(x+h)+(y+h')-(x+y)=h+h'$$ patrí do $H$.
Ukázali sme, že $z\sim x+y$, čiže máme $z\in[x+y]$.

$\square$

Súvis s definíciou binárnej operácie na $G/H$

Keď ste definovali faktorovú grupu, tak ste definovali súčet dvoch tried predpisom
$$[x]+[y]=[x+y].$$
Táto definícia ale popisuje výsledok pomocou reprezentantov jednotlivých tried - preto bolo treba zdôvodniť, že výsledok nezávisí od výberu reprezentantov.

Z tejto úlohy vidíme, že súčet dvoch tried by sme mohli definovať aj ako
$$\{a+b; a\in[x], b\in[y]\}.$$
Ak by toto bola naša definícia, tak táto sa nijako neopiera o výber reprezentanta - výsledok je popísaný pomocou celej triedy $[x]$ a celej triedy $[y]$.
Ale na druhej strane, pri takejto definícii by sme museli ešte nejako overiť, že výsledok operácie je opäť niektorá trieda ekvivalencie. (Toto sme pri definícii z prednášky mali zadarmo.)

Alebo skoro to isté povedané inak: Na základe tejto úlohy vidíme dva pohľady na súčet dvoch tried. Jeden z nich súčet popisuje pomocou výberu reprezentatov tried. Druhý používa celé triedy, nepotrebuje využívať jedného konkrétneho reprezentanta.

Tu sú nejaké drobné poznámky k tomu, čo znamená, že nejaká funkcia alebo binárna operácia je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1293

Poznámky k odovzdaným riešeniam

Vo viacerých úlohách sa vyskytlo niečo takéto - pričom išlo najčastejšie o zdôvodnenie inklúzie $[x+y]\subseteq\{a+b; a\in[x], b\in[y]\}$.

Ak $c\in[x+y]$, tak máme $c=(x+y)+h$ pre nejaké $h\in H$. Položme $h=h_1+h_2$, pričom $h_1,h_2\in H$. Potom máme
$$c=(x+y)+(h_1+h_2)=(x+h_1)+(y+h_2)=a+b,$$
kde $a\in[x]$ a $b\in[h]$. (Pričom sme označili $a=x+h_1$, $b=y+h_2$.)

To, čo mi tam chýbalo, bolo napísať ako konkrétne zvolíme $h_1$ a $h_2$ pre nejaké $h\in H$.
Dá sa to urobiť jednoducho - ako jedno z nich môžeme zobrať neutrálny prvok a ako druhé priamo $h$.
Ale pokiaľ ste nešpecifikovali, čo je $h_1$ a $h_2$, tak vlastne nie je jasné, aké prvky to sú - takýto dôkaz som teda nebral ako úplný.