Písomka 1, skupina B, príklad 1
Posted: Mon Nov 18, 2024 8:02 pm
Nech $X$ je množina, $f, g\colon X\to X$ sú zobrazenia také, že $f\circ(g\circ f)=\mathrm{id}_{X}$, kde $\mathrm{id}_{X}$ označuje identické zobrazenie na množine $X$ (ako sme to vždy robili). Vieme, že zloženie zobrazení je asociatívne, t.j. $f\circ(g\circ f)=(f\circ g)\circ f$.
a) (3 body) Dokážte, že $f$ je bijektívne zobrazenie.
Vzhľadom na zadanie v b) je dobre si uvedomiť, že aby $f\circ(g\circ f)=\mathrm{id}_{X}$, zobrazenie $f$ NEMUSÍ byť identita na množine $X$.
b) (2 body) Nájdite množinu $X$ a zobrazenia $f, g\colon X\to X$ tak, aby $f\ne \mathrm{id}_{X}$ a $f\circ(g\circ f)=\mathrm{id}_{X}$.
Riešenie:
a) prvé riešenie: $f$ je bijekcia práve vtedy, keď je injekcia a surjekcia. Ak $f$ má ľavé inverzné zobrazenie, tak je injekcia, ak $f$ má pravé inverzné zobrazenie, tak je surjekcia (o tom sme hovorili na cvičeniach, toto je tá "ľahšia časť" cvičenia 2.2.4, na tieto implikácie nie je potrebný predpoklad $X\ne \emptyset$). Podľa predpokladu je $f\circ g$ ľavé inverzné zobrazenie ku $f$ (lebo $(f\circ g)\circ f=\mathrm{id}_{X}$), preto je $f$ injekcia. Podobne je podľa predpokladu $g\circ f$ pravé inverzné zobrazenie ku $f$. Preto je $f$ surjekcia. Teda $f$ je bijekcia.
Naviac, keďže platí asociatívnosť, ak pre $f$ existujú aj ľavé aj pravé inverzné zobrazenie, musia byť rovnaké, t.j. dostávame, že $f\circ g=g\circ f$.
druhé riešenie: tiež použijeme definíciu: zobrazenie je bijektívne práve vtedy, keď je injektívne a surjektívne. Overíme tieto dve vlastnosti pre $f\colon X\to X$ spĺňajúce predpoklad $(f\circ g)\circ f=\mathrm{id}_{X}$ pre nejaké $g\colon X\to X$.
Surjektívnosť $f$: nech $b\in X$. Potrebujeme nájsť $a\in X$ také, že $f(a)=b$. Položme $a=g\circ f(b)$. Potom $f(a)=f(g\circ f(b))=f\circ(g\circ f)(b)=\mathrm{id}_{X}(b)=b$. Teda $f$ je surjektívne. (porovnajte aj s úlohou 2.2.1 a faktom, že $\mathrm{id}_{X}=\mathbf{f}\circ(g\circ f)$ je surjekcia. Tučným $f$ je zvýrazná tá \uv{inštancia}, ktorá podľa 2.2.1. musí byť surjekcia.)
Injektívnosť $f$: Vieme, že $f\circ(g\circ f)=\mathrm{id}_{X}$ je injektívne. Dokážeme obmenu: ak $f$ nie je injektívne, tak $(f\circ g)\circ f$ nie je injektívne (čiže ak $(f\circ g)\circ f$ je injektívne, tak $f$ je injektívne).
Nech $f$ nie je injektívne, $a,b\in X$ sú také, že $a\ne b$ a $f(a)=f(b)=c$. Potom $(f\circ g)(f(a))=(f\circ g)(c)=(f\circ g)(f(b))$, t.j. $(f\circ g)\circ f(a)=(f\circ g)\circ f(b)$, čiže $(f\circ g)\circ f$ nie je injektívne. (porovnajte aj s úlohou 2.2.2 a faktom, že $\mathrm{id}_{X}=f^3(b)=(f\circ g)\circ \mathbf{f}$ je injekcia. Tučným $f$ je zvýrazná tá "inštancia", ktorá podľa 2.2.2. musí byť injekcia.)
Alebo: dokážeme implikáciu $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$.
Nech $f(a)=f(b)$. Potom $(f\circ g)(f(a))=(f\circ g)(f(b))$ (lebo $f\circ g$ je zobrazenie). Ale $(f\circ g)(f(a))=(f\circ g)\circ f(a)=\mathrm{id}_X(a)=a$, podobne$(f\circ g)(f(b))=(f\circ g)\circ f(b)=\mathrm{id}_X(b)=b$. Čiže $a=b$.
Riešenia pre skupiny A a B sú veľmi podobné.
b) rovnako ako pre skupinu A, stačí zvoliť $X=\{1,2,3\}$ a zobrazenia $f,g\colon X\to X$ také, že $f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1$, $g(1)=2, g(2)=3, g(3)=1$, t.j. $f=g$ . Očividne $f\ne \mathrm{id}_{X}$.
Ďalej $(f\circ g)\circ f(1)=f(g(f(1)))=f(g(2))=f(3)=1$, $(f\circ g)\circ f(2)=f(g(f(2)))=f(g(3))=f(1)=2$, $(f\circ g)\circ f(3)=f(g(f(3)))=f(g(1))=f(2)=3$, teda $f^3=\mathrm{id}_{X}$.
Alebo ešte jednoduchšie: nech $X=\{1,2\}$, $g=\mathrm{id}_{X}$ a $f(1)=2, f(2)=1$ (permutácia, ktorá "vymení" 1 a 2). Potom $f\ne \mathrm{id}_{X}$ a $(f\circ g)\circ f=f\circ f$ a $f\circ f(1)=f(f(1))=f(2)=1$, podobne $f\circ f(2)=f(f(2))=f(1)=2$, t.j. $(f\circ g)\circ f=f\circ f=\mathrm{id}_{X}$ .
a) (3 body) Dokážte, že $f$ je bijektívne zobrazenie.
Vzhľadom na zadanie v b) je dobre si uvedomiť, že aby $f\circ(g\circ f)=\mathrm{id}_{X}$, zobrazenie $f$ NEMUSÍ byť identita na množine $X$.
b) (2 body) Nájdite množinu $X$ a zobrazenia $f, g\colon X\to X$ tak, aby $f\ne \mathrm{id}_{X}$ a $f\circ(g\circ f)=\mathrm{id}_{X}$.
Riešenie:
a) prvé riešenie: $f$ je bijekcia práve vtedy, keď je injekcia a surjekcia. Ak $f$ má ľavé inverzné zobrazenie, tak je injekcia, ak $f$ má pravé inverzné zobrazenie, tak je surjekcia (o tom sme hovorili na cvičeniach, toto je tá "ľahšia časť" cvičenia 2.2.4, na tieto implikácie nie je potrebný predpoklad $X\ne \emptyset$). Podľa predpokladu je $f\circ g$ ľavé inverzné zobrazenie ku $f$ (lebo $(f\circ g)\circ f=\mathrm{id}_{X}$), preto je $f$ injekcia. Podobne je podľa predpokladu $g\circ f$ pravé inverzné zobrazenie ku $f$. Preto je $f$ surjekcia. Teda $f$ je bijekcia.
Naviac, keďže platí asociatívnosť, ak pre $f$ existujú aj ľavé aj pravé inverzné zobrazenie, musia byť rovnaké, t.j. dostávame, že $f\circ g=g\circ f$.
druhé riešenie: tiež použijeme definíciu: zobrazenie je bijektívne práve vtedy, keď je injektívne a surjektívne. Overíme tieto dve vlastnosti pre $f\colon X\to X$ spĺňajúce predpoklad $(f\circ g)\circ f=\mathrm{id}_{X}$ pre nejaké $g\colon X\to X$.
Surjektívnosť $f$: nech $b\in X$. Potrebujeme nájsť $a\in X$ také, že $f(a)=b$. Položme $a=g\circ f(b)$. Potom $f(a)=f(g\circ f(b))=f\circ(g\circ f)(b)=\mathrm{id}_{X}(b)=b$. Teda $f$ je surjektívne. (porovnajte aj s úlohou 2.2.1 a faktom, že $\mathrm{id}_{X}=\mathbf{f}\circ(g\circ f)$ je surjekcia. Tučným $f$ je zvýrazná tá \uv{inštancia}, ktorá podľa 2.2.1. musí byť surjekcia.)
Injektívnosť $f$: Vieme, že $f\circ(g\circ f)=\mathrm{id}_{X}$ je injektívne. Dokážeme obmenu: ak $f$ nie je injektívne, tak $(f\circ g)\circ f$ nie je injektívne (čiže ak $(f\circ g)\circ f$ je injektívne, tak $f$ je injektívne).
Nech $f$ nie je injektívne, $a,b\in X$ sú také, že $a\ne b$ a $f(a)=f(b)=c$. Potom $(f\circ g)(f(a))=(f\circ g)(c)=(f\circ g)(f(b))$, t.j. $(f\circ g)\circ f(a)=(f\circ g)\circ f(b)$, čiže $(f\circ g)\circ f$ nie je injektívne. (porovnajte aj s úlohou 2.2.2 a faktom, že $\mathrm{id}_{X}=f^3(b)=(f\circ g)\circ \mathbf{f}$ je injekcia. Tučným $f$ je zvýrazná tá "inštancia", ktorá podľa 2.2.2. musí byť injekcia.)
Alebo: dokážeme implikáciu $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$.
Nech $f(a)=f(b)$. Potom $(f\circ g)(f(a))=(f\circ g)(f(b))$ (lebo $f\circ g$ je zobrazenie). Ale $(f\circ g)(f(a))=(f\circ g)\circ f(a)=\mathrm{id}_X(a)=a$, podobne$(f\circ g)(f(b))=(f\circ g)\circ f(b)=\mathrm{id}_X(b)=b$. Čiže $a=b$.
Riešenia pre skupiny A a B sú veľmi podobné.
b) rovnako ako pre skupinu A, stačí zvoliť $X=\{1,2,3\}$ a zobrazenia $f,g\colon X\to X$ také, že $f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1$, $g(1)=2, g(2)=3, g(3)=1$, t.j. $f=g$ . Očividne $f\ne \mathrm{id}_{X}$.
Ďalej $(f\circ g)\circ f(1)=f(g(f(1)))=f(g(2))=f(3)=1$, $(f\circ g)\circ f(2)=f(g(f(2)))=f(g(3))=f(1)=2$, $(f\circ g)\circ f(3)=f(g(f(3)))=f(g(1))=f(2)=3$, teda $f^3=\mathrm{id}_{X}$.
Alebo ešte jednoduchšie: nech $X=\{1,2\}$, $g=\mathrm{id}_{X}$ a $f(1)=2, f(2)=1$ (permutácia, ktorá "vymení" 1 a 2). Potom $f\ne \mathrm{id}_{X}$ a $(f\circ g)\circ f=f\circ f$ a $f\circ f(1)=f(f(1))=f(2)=1$, podobne $f\circ f(2)=f(f(2))=f(1)=2$, t.j. $(f\circ g)\circ f=f\circ f=\mathrm{id}_{X}$ .
