Keďže medzi odovzdanými úlohami bolo pomerne veľa takých, kde sa pri takýchto výpočtoch vyskytli chyby, napíšem aspoň pre jednu maticu veľmi detailne výpočty z prvého kroku úprav.
Samozrejme, nie je nič špecifické na tom, že som si zobral $\mathbb Z_7$; ak namiesto sedmičky vezmem iné prvočíslo, tak výpočty v poli $\mathbb Z_p$ budú analogické.
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 6 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 5 \\
0 & 6 & 4 & 3 \\
0 & 5 & 6 & 0 \\
\end{pmatrix}$
Úpravy ktoré som robil:
* K druhému riadku som pripočítal $5$-krát prvý. (Resp. odpočítal som $2$-krát prvý. Je to to isté, v $\mathbb Z_7$ platí $5=-2$.)
* K tretiemu riadku som pripočítal $4$-krát prvý. (Resp. odpočítal som $3$-krát prvý. Opäť, toto je to isté, máme rovnosť $4=-3$.)
\begin{align*}
(2,1,3,6)+5\cdot(1,1,3,5)&=(0,6,4,3)\\
(2,1,3,6)-2\cdot(1,1,3,5)&=(0,6,4,3)\\
(3,1,1,1)+4\cdot(1,1,3,5)&=(0,5,6,0)\\
(3,1,1,1)-3\cdot(1,1,3,5)&=(0,5,6,0)
\end{align*}
Jedna pomerne priamočiara možnosť je urobiť všetky tieto výpočty v $\mathbb Z$:
\begin{align*}
(2,1,3,6)+5\cdot(1,1,3,5)&=(7,6,18,31)\\
(2,1,3,6)-2\cdot(1,1,3,5)&=(0,-1,-3,-4)\\
(3,1,1,1)+4\cdot(1,1,3,5)&=(7,5,13,21)\\
(3,1,1,1)-3\cdot(1,1,3,5)&=(0,-2,-9,-14)
\end{align*}
A potom už stačí na každom mieste urobiť zvyšok po delení sedmičkou. (To isté sa dá povedať tak, že odpočívam alebo pripočítavam číslo $7$ až kým nedostanem nejaké číslo z $0,1,\dots,6$.)
Treba si trochu dať pozor na to, aby sa človek nepomýlil, keď robí zvyšok pre záporné čísla.
Iba ako ilustráciu toho, že mám veľa ďalších možností ako počítať v tomto poli, sem rozpíšem niektoré z výpočtov v týchto úpravách. (Niektoré aj viac spôsobmi.)
T.j. nie nutne to musím rátať tak, že celý výpočet urobím v $\mathbb Z$ a zvyšok hľadám až úplne na konci.
$3+3\cdot 5=4$
Spoiler:
Spoiler:
Spoiler:
Spoiler:
Spoiler:
Spoiler:
Potom už budem iba odčitovať prvý riadok od ostatných. (A je tam možno menšia šanca chyby, ako keď musím odčitovať násobok prvého riadku.)
Čiže ak vám lepšie vyhovuje takýto postup, robte to takto. (Alebo kombinujte viacero vecí - ako vám to vyhovuje. Podstatné je iba to, aby to boli legitímne riadkové operácie.)
Konkrétne tu som násobil druhý riadok $4$-kou a tretí riadok $5$-kou. (V $\mathbb Z_7$ platí $2^{-1}=4$ a $3^{-1}=5$.)
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 6 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 5 \\
1 & 4 & 5 & 3 \\
1 & 5 & 5 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 5 \\
0 & 3 & 2 & 4 \\
0 & 4 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}
$
Ak sa mi to takto zdá jednoduchšie, tak násobenie číslom $2^{-1}=5$ vlastne znamená, že $2x$ nahradím $x$.
V riadku obsahujúcom $(2,1,3,6)$ mám dve čísla párne - takže tam viem, že $2^{-1}\cdot2=1$ a $2^{-1}\cdot6=3$.
Pre zostávajúce dve (nepárne čísla) si môžem uvedomiť, že $1\equiv8\pmod 7$ a $3\equiv10\pmod7$. (T.j. čo sa týka zvyšku modulo $7$, číslo $1$ je rovnocenné s $8$ a $3$ je rovnocenné s $10$.)
Teda potom vidím, že $1=2\cdot 4$ a $2^{-1}\cdot1=4$.
Podobne $3=2\cdot5$ a $2^{-1}\cdot3=5$.
Takže dostanem:
$$2^{-1}\cdot(2,1,3,6)=(1,4,5,3).$$
Alebo pri nepárnych číslach môžem prejsť k opačným:
\begin{align*}
2^{-1}\cdot(2,1,3,6)
&=2^{-1}\cdot(2,-6,-4,6)\\
&=(1,-3,-2,3)\\
&=(1,4,5,3)
\end{align*}