DÚ - sústavy

[Martin Sleziak]

V každej skupine je úlohou vyriešiť sústavu určenú zadanou maticou nad poľom $\mathbb R$ a aj zapísať množinu riešení.

1. $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 3 & 4 &-6 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 5 \\
1 & 1 &-1 & 0 & 6 \\
1 & 3 & 2 &-1 & 1
\end{array}
\right)$

2. $
\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & 3 & 1 &-1 \\
1 & 3 &-2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 2 & 1
\end{array}\right)
$

3. $
\left(\begin{array}{cccc|c}
3 & 2 &-1 & 1 & 4 \\
2 & 3 &-4 & 1 &-1 \\
3 & 1 & 1 & 1 & 7 \\
1 & 3 &-5 & 2 & 1
\end{array}\right)
$

4. $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\
2 & 2 & 3 & 1 & 4 \\
3 & 3 & 2 & 4 & 1 \\
1 & 1 & 3 &-1 & 5
\end{array}\right)
$

Na tento typ úlohy poznáme štandardný postup:
Najprv maticu sústavy upravím na redukovaný tvar. Z neho vidím, či sústava má alebo nemá riešenie. A aj to, či je riešenie jediné.
Ak je riešení viacero, tak za parametre sa určite dajú voliť tie premenné, ktoré zodpovedajú stĺpcom bez vedúcich jednotiek.
(Samozrejme, nie je to jediná možnosť ako postupovať.)

Nebudem tu teda priveľa rozpisovať detaily - napíšem ako vyzerajú výpočty, aký je výsledok a aký je zápis množiny riešení.

Pre istotu upozorním aj na to, že:
* Redukovaný tvar matice je určený jednoznačne - čiže ak ste to upravili na tento tvar, tak správny výsledok môže vyzerať iba takto.
* Ale množinu riešení je možné zapísať veľa rôznymi spôsobmi. (Každopádne počet parametrov by mal byť rovnaký; ak by ste tú istú množinu zapísali pomocou viacerých parametrov, tak niektoré z nich sa tam vyskytujú zbytočne. Pomocou menšieho počtu parametrov sa vám ju zapísať nepodarí.)

Pridám aj linku na nejaký pokec ku skúške správnosti: viewtopic.php?t=522
(Ak výsledok obsahuje parameter, tak mám viacero možností, ako zmysluplne robiť skúšku.)

[Martin Sleziak]

1. skupina

$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 3 & 4 &-6 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 5 \\
1 & 1 &-1 & 0 & 6 \\
1 & 3 & 2 &-1 & 1
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 1 & 0 &-2 & 2\\
0 & 0 & 1 & 1 &-3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

Množina riešení: $\{(1-3t,2+2t,-3-t,t); t\in\mathbb R\}$

Spoiler:

$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 3 & 4 &-6 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 5 \\
1 & 1 &-1 & 0 & 6 \\
1 & 3 & 2 &-1 & 1
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 0 & 4 & 4 &-12\\
1 & 0 &-1 & 2 & 4 \\
1 & 1 &-1 & 0 & 6 \\
1 & 3 & 2 &-1 & 1
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 0 & 1 & 1 &-3\\
1 & 0 & 0 & 3 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1 & 3\\
1 & 3 & 0 &-3 & 7
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 0 & 1 & 1 &-3\\
1 & 0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 1 & 0 &-2 & 2\\
0 & 3 & 0 &-6 & 6
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 1 & 0 &-2 & 2\\
0 & 0 & 1 & 1 &-3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

2. skupina

$
\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & 3 & 1 &-1 \\
1 & 3 &-2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 &-2 &-3 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)$

Množina riešení: $\{(-3+2t,2-2t,1-t,t); t\in\mathbb R\}$

Spoiler:

$
\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & 3 & 1 &-1 \\
1 & 3 &-2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
2 & 0 & 3 &-1 &-3 \\
1 & 0 &-2 &-4 &-5 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
1 & 0 & 2 & 0 &-1
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 0 &-1 &-1 &-1 \\
0 & 0 &-4 &-4 &-4 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
1 & 0 & 2 & 0 &-1
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
1 & 0 & 0 &-2 &-3
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 &-2 &-3 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)
$

3. skupina

$
\left(\begin{array}{cccc|c}
3 & 2 &-1 & 1 & 4 \\
2 & 3 &-4 & 1 &-1 \\
3 & 1 & 1 & 1 & 7 \\
1 & 3 &-5 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 1 &-2 & 0 &-3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

Množina riešení: $\{(2-t,-3+2t,t,4); t\in\mathbb R\}$

Spoiler:

$
\left(\begin{array}{cccc|c}
3 & 2 &-1 & 1 & 4 \\
2 & 3 &-4 & 1 &-1 \\
3 & 1 & 1 & 1 & 7 \\
1 & 3 &-5 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 &-2 & 0 &-3 \\
2 & 3 &-4 & 1 &-1 \\
3 & 1 & 1 & 1 & 7 \\
1 & 3 &-5 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 &-2 & 0 &-3 \\
1 & 0 & 1 &-1 &-2 \\
3 & 1 & 1 & 1 & 7 \\
1 & 3 &-5 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 &-2 & 0 &-3 \\
1 & 0 & 1 &-1 &-2 \\
0 & 1 &-2 & 4 &13 \\
0 & 3 &-6 & 3 & 3
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 &-2 & 0 &-3 \\
1 & 0 & 1 &-1 &-2 \\
0 & 1 &-2 & 4 &13 \\
0 & 1 &-2 & 1 & 1
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 &-2 & 0 &-3 \\
1 & 0 & 1 &-1 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 4 &16 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 &-2 & 0 &-3 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 1 &-2 & 0 &-3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

4. skupina

$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\
2 & 2 & 3 & 1 & 4 \\
3 & 3 & 2 & 4 & 1 \\
1 & 1 & 3 &-1 & 5
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 0 & 2 &-1 \\
0 & 0 & 1 &-1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

Množina riešení: $\{(-1-s-2t,s,2+t,t); s,t\in\mathbb R\}$

Spoiler:

$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\
2 & 2 & 3 & 1 & 4 \\
3 & 3 & 2 & 4 & 1 \\
1 & 1 & 3 &-1 & 5
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\
2 & 2 & 3 & 1 & 4 \\
3 & 3 & 2 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-1 & 2
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 0 & 2 &-1 \\
2 & 2 & 0 & 4 &-2 \\
3 & 3 & 0 & 6 &-3 \\
0 & 0 & 1 &-1 & 2
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 0 & 2 &-1 \\
0 & 0 & 1 &-1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$