msleziak.com

V každej skupine je úlohou nájsť bázu priestoru riešení zadanej homogénnej sústavy nad poľom $\mathbb Z_5$.

V prvej a tretej skupine dostaneme takýto redukovaný tvar:
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)$$

Vidíme, že priestor riešení má dimenziu $d(S)=n-h(A)=5-2=2$
Z tohto tvaru vieme vyčítať aj bázu priestoru riešení: $S=[(3,1,0,0,0),(4,0,2,1,0),(2,0,3,0,1)]$. Dá sa nájsť aj veľa iných báz pre ten istý podpriestor - tá, ktorú sme uviedli tu, je vypočítaná obvyklým spôsobom; za parametre sme volili tie premenné, ktoré nemajú vedúce jednotky.

******

V druhej a štvrtej skupine redukovaný tvar vyzerá takto.
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right)$$
Odtiaľ vidíme, že $d(S')=n-h(A)=5-3=2$ a vieme nájsť aj bázu: $S'=[(3,1,0,0,0),(4,0,2,1,0)]$. ******

Môžeme si tiež všimnúť, že $S'\subseteq S$.
Vidíme to napríklad z toho, že oba bázové vektory, ktoré sme našli pre $S'$, sú aj v báze, ktorú sme uviedli pre $S$.
A vidno to aj s porovnania redukovaných tvarov - každé riešenie druhej sústavy je riešením prvej sústavy. (Obe nenulové rovnice prvej sústavy vieme dostať ako lineárne kombinácie rovníc z druhej sústavy.)

Tu sú výpočty použité pri úpravách. (Samozrejme, je veľa rôznych možností, ako sa dalo postupovať - toto je jedna z nich.)

V prvej skupine sú prvý a tretí riadok rovnaké; zostali nám dva lineárne nezávislé riadky.

1. $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
3 & 1 & 2 & 4 & 3 & 0\\
1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\
3 & 1 & 2 & 4 & 3 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 4 & 3 & 1 & 0\\
1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\
0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
$


2. $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0\\
1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0\\
4 & 3 & 4 & 1 & 3 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0\\
1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0\\
1 & 2 & 1 & 4 & 2 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1 & 4 & 2 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 1 & 4 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 1 & 4 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)$

V tretej skupine je súčet prvých dvoch riadkov nula; zostali nám dva lineárne nezávislé riadky.

3. $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 4 & 3 & 1 & 0\\
4 & 3 & 1 & 2 & 4 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 4 & 3 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
$

4. $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0\\
3 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & 3 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & 4 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & 3 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & 4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right)
$