Výpočet $A^{-1}$, $B^{-1}$, $(AB)^{-1}$
Posted: Sat Dec 21, 2024 11:04 am
$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
Matice $\inv A$, $\inv B$ vieme počítať štandardným spôsobom, ktorý sme sa tento semester naučili.
Vieme, že platí $$\inv{(AB)}=\inv B\inv A,$$
takže jedna možnosť je vypočítať súčin $AB$ a hľadať inverznú. Druhá možnosť je vypočítať súčin $\inv B\inv A$.
Výsledky sú:
\begin{align*}
\inv A&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 \\
3 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
\inv B&=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 0 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
AB&=
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 2 \\
4 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
\inv{(AB)}&=
\begin{pmatrix}
0 & 4 & 0 \\
3 & 1 & 4 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
Pre matice $A$, $B$ aj $AB$ vieme urobiť skúšku tým, že ich priamo vynásobíme inverznou maticou. (A ak by skúška nevyšla, tak pripomeniem, že pri tomto type výpočtu sa skúška dá robiť aj uprostred výpočtu.)
Pre dané matice $A$, $B$ nad poľom $\Z_5$ vypočítajte $\inv A$, $\inv B$ a $\inv{(AB)}$. (Ak v niektorom z týchto prípadov neexistuje inverzná matica, zdôvodnite prečo.)
$$A=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
4 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\qquad
B=
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}$$
Matice $\inv A$, $\inv B$ vieme počítať štandardným spôsobom, ktorý sme sa tento semester naučili.
Vieme, že platí $$\inv{(AB)}=\inv B\inv A,$$
takže jedna možnosť je vypočítať súčin $AB$ a hľadať inverznú. Druhá možnosť je vypočítať súčin $\inv B\inv A$.
Výsledky sú:
\begin{align*}
\inv A&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 \\
3 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
\inv B&=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 0 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
AB&=
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 2 \\
4 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
\inv{(AB)}&=
\begin{pmatrix}
0 & 4 & 0 \\
3 & 1 & 4 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
Pre matice $A$, $B$ aj $AB$ vieme urobiť skúšku tým, že ich priamo vynásobíme inverznou maticou. (A ak by skúška nevyšla, tak pripomeniem, že pri tomto type výpočtu sa skúška dá robiť aj uprostred výpočtu.)
Spoiler: