Úloha 5.3.6 - lineárne zobrazenia zachovávajú podpriestory

[MichaelRuman]

Nech $f : V \to W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
Ak $S$ je podpriestor vektorového priestoru $V$ , tak $f[S] = \{f(\vec{α}); \vec{α} \in S\}$ je podpriestor vektorového priestoru $W$.
Ak $T$ je podpriestor vektorového priestoru $W$, tak $f^{−1}(T) = \{\vec{α} ∈ V : f(\vec{α}) \in T\}$ je podpriestor vektorového priestoru $V$.

$Dôkaz$ $prvej$ $časti.$ Majme ľubovoľné $\vec{α}, \vec{β} \in S$ a $c \in F$. Potom z definície podpriestoru platí

$\vec{α} + \vec{β} \in S$, ${c\vec{α}} \in S$ z čoho $f(\vec{a} + \vec{β}), f(c\vec{α}) \in f[S]$

A teda z definície lineárneho zobrazenia máme:

$f(\vec{α} + \vec{β}) = f(\vec{α}) + f(\vec{β})$, čiže $f(\vec{α}) + f(\vec{β}) \in f[S]$ a
$f(c\vec{α}) = cf(\vec{α})$ a teda $cf(\vec{α}) \in f[S]$.

Čiže f[S] je zatvorený vzhľadom na sčítanie dvoch vektorov a násobenie vektora skalárom, a teda ide o podpriestor $W$.

$Dôkaz$ $druhej$ $časti.$ Majme ľubovoľné $\vec{α}, \vec{β} \in f^{-1}(T)$ a $c \in F$. Z toho $f(\vec{α}), f(\vec{β}) \in T$. Potom z definície podpriestoru platí
$f(\vec{α}) + f(\vec{β}) \in T$, $cf(\vec{α}) \in T$.

Z definície lineárneho zobrazenia

$f(\vec{α}) + f(\vec{β}) = f(\vec{α} + \vec{β})$ a
$cf(\vec{α}) = f(c\vec{α})$,

čiže

$f(\vec{α} + \vec{β}) \in T$ a
$f(c\vec{α}) \in T$.

Z toho podľa definície $f^{-1}(T)$ vyplýva

$\vec{α} + \vec{β} \in f^{-1}(T)$ a
$c\vec{α} \in f^{-1}(T)$.

Čiže$f^{-1}(T)$ je zatvorený vzhľadom na čítanie vektorov a násobenie vektora skalárom, a teda ide o podpriestor $V$.

[makovnik]

MM: V uvedenom dôkaze nevidím problém. V poriadku.