2. prednáška (24.2):
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.
Niekoľko príkladov. (Triviálne príklady ako identita a konštantný homomorfizmus. Ale aj trochu zaujímavejšie príklady ako $x\mapsto e^x$ z $(\mathbb R,+)$ do $(\mathbb R^+,\cdot)$, $x\mapsto e^{ix}$ z $(\mathbb R,+)$ od $(S,\cdot)$.)
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
Izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Ako príklady izomorfizmov sme spomenuli $(\mathbb R,+)\cong(\mathbb R^+,\cdot)$ a $(\mathbb Z_4,\oplus)\cong(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\odot)$.
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti.
Lemu 11.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou. T.j. porozprávali sme sa o tom, že aj pre grupovú mocninu platí $x^{m+n}=x^m\cdot x^n$; ale že formálny dôkaz (matematickou indukciou) nebudeme robiť - stačí nám, že sme si zhruba ujasnili prečo takéto niečo platí. (A to isté platí pre iné podobné vlastnosti.)
Rád prvku: Definícia, príklady. Čo sa deje s rádom prvku pri homomorfizme/izomorfizme.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu (t.j. z kritéria pre podgrupu netreba pre konečné podmnožiny overiť "inverzné prvky").
V
texte s poznámkami sme vlastne prešli časť 11.3 a začiatok z časti 11.4.