V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Ak sa chcete pozrieť, čo som stihol prebrať po minulé roky:
viewtopic.php?t=2044
viewtopic.php?t=1931
viewtopic.php?t=1771
viewtopic.php?t=1491
viewtopic.php?t=1400
viewtopic.php?t=1028
viewtopic.php?t=842
viewtopic.php?t=595
viewtopic.php?t=416
Prednášky LS 2024/25 - teória čísel
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5756
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2024/25 - teória čísel
1. prednáška (18.2.):
Asymptotická hustota. Definícia, základne vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Konečná aditívnosť.
Popritom sme aj pripomenuli niektoré veci o limes superior a limes inferior.
Ukázali sme si, ako sa $\liminf \varphi(n)/n=0$ dá použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$. (Pri dôkaze tohto výsledku sme si ukázali ako pomocné tvrdenie fakt, že zo $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=+\infty$, $0<x_i<1$, vyplýva $\prod\limits_{i=1}^\infty (1-x_n)=0$.)
Asymptotická hustota. Definícia, základne vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Konečná aditívnosť.
Popritom sme aj pripomenuli niektoré veci o limes superior a limes inferior.
Ukázali sme si, ako sa $\liminf \varphi(n)/n=0$ dá použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$. (Pri dôkaze tohto výsledku sme si ukázali ako pomocné tvrdenie fakt, že zo $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=+\infty$, $0<x_i<1$, vyplýva $\prod\limits_{i=1}^\infty (1-x_n)=0$.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5756
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2024/25 - teória čísel
Tento týždeň sme mali dve prednášky - tým pádom bude menej problémov s náhradami za odpadnuté štvrtky (1. a 8. máj).
Dohodli sme sa, že odteraz už táto hodina bude bývať vo štvrtok 11.30.
2. prednáška (20.2.):
Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme si vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$; ale jednoduchšiu verziu, kde používame $A_p=\{n\in A; p\mid n\}$. (V texte na stránke sa dá nájsť dôkaz analogickej vety pre $A_p=\{n\in A; p\mid n, p^2\nmid n\}$. A sú tam odkazy aj na ďalšiu literatúru, kde sa dá nájsť dôkaz tohto faktu.)
Ukázali sme, že množina čísel, ktoré majú nanajvýš $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu nula.
Pomocou predošlých dvoch výsledkov sme dostali, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient. (A aj to, že takých čísel existuje v istom zmysle "veľa". Napríklad aj to, že určite existujú párne čísla s touto vlastnosťou.)
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856
Dohodli sme sa, že odteraz už táto hodina bude bývať vo štvrtok 11.30.
2. prednáška (20.2.):
Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme si vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$; ale jednoduchšiu verziu, kde používame $A_p=\{n\in A; p\mid n\}$. (V texte na stránke sa dá nájsť dôkaz analogickej vety pre $A_p=\{n\in A; p\mid n, p^2\nmid n\}$. A sú tam odkazy aj na ďalšiu literatúru, kde sa dá nájsť dôkaz tohto faktu.)
Ukázali sme, že množina čísel, ktoré majú nanajvýš $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu nula.
Pomocou predošlých dvoch výsledkov sme dostali, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient. (A aj to, že takých čísel existuje v istom zmysle "veľa". Napríklad aj to, že určite existujú párne čísla s touto vlastnosťou.)
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856