Exercise 17.6

[Martin Sleziak]

Exercise 17.6. You are given that the group
$$T_{4n}=\langle a,b; a^{2n}=1, a^n=b^2, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$$
has order $4n$. (It is known as a dicyclic group.)
(a) Show that if $\varepsilon$ is any $(2n)$th root of unity in $\mathbb C$, then there is a representation of $T_{4n}$ over $\mathbb C$ which sends
$$a\mapsto\begin{pmatrix}\varepsilon&0\\0&\varepsilon^{-1}\end{pmatrix},b\mapsto\begin{pmatrix}0&1\\\varepsilon^n&0\end{pmatrix}.$$
(b) Find all the irreducible representations of $T_{4n}$.

Máme
$$
\begin{align}
ab&=ba^{2n-1} \tag{1}\\
aba&=b \tag{2}\\
ba&=a^{-1}b=a^{2n-1}b \tag{3}\\
b^2a&=a^{n+1}=ab^2 \tag{4}
\end{align}
$$
Z týchto rovností vidíme napríklad to, že každý prvok z $T_{4n}$ sa dá vyjadriť ako $a^ib^j$ kde $0\le i<2n$ a $0\le j\le 1$.

Reprezentácia:

Je vcelku ľahké overiť, že uvedený predpis skutočne predstavuje reprezentáciu: $A^{2n}=I$, $A^n=B^2=\varepsilon^nI$ a $B^{-1}AB=\begin{pmatrix}0&\varepsilon^n\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\varepsilon&0\\0&\varepsilon^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\\varepsilon^{n}&0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}0&\varepsilon^{n-1}\\\varepsilon&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\\varepsilon^{n}&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\varepsilon^{-1}&0\\0&\varepsilon\end{pmatrix}=A^{-1}$.

Navyše pre primitívnu $2n$-tú odmocninu dostaneme dokonca vernú reprezentáciu, čo ukazuje, že $G=T_{4n}$ má skutočne $4n$-prvkov.
$A^k=\begin{pmatrix}\varepsilon^k&0\\0&\varepsilon^{-k}\end{pmatrix}$
$A^kB=\begin{pmatrix}\varepsilon^k&0\\0&\varepsilon^{-k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\\varepsilon^n&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\varepsilon^k\\\varepsilon^{n-k}&0\end{pmatrix}$

Triedy konjugácie:

Indukciou dostaneme $b^{-1}a^kb=a^{-k}=a^{2n-k}$, z čoho vidno, že dvojice $\{a^k,a^{2n-k}\}$ tvoria triedy konjugácie pre $k=1,\dots,n-1$. Ďalej dostávame ešte dve jednoprvkové triedy $\{1\}$ a $\{a^n\}$.

Ďalej máme $a^{-1}a^kba=a^{-2}a^kaba\overset{(2)}=a^{k-2}b$, a teda $\{a^{2j}b; j=0,\dots,n-1\}$ a $\{a^{2j+1}b; j=0,\dots,n-1\}$ vytvoria ďalšie dve triedy.

Spolu sme dostali $n+3$ tried konjugácie. Teda aj ireducibilných charakterov (ireducibilných reprezentácií) by malo byť $n+3$.

Ireducibilné reprezentácie:

Ak by sa nám podarilo nájsť $(n-1)$ dvojrozmerných a $4$ jednorozmerné reprezentácie (navzájom neizomorfné), tak by sme už mali kompletný zoznam, lebo $4\times1^2+(n-1)\times2^2=4n$.
Pre $\varepsilon\ne1$ je daná reprezentácia ireducibilná. (Matica $A$ je diagonálna a má na diagonále rôzne prvky, teda jediné vlastné vektory sú $(1,0)$ a $(0,1)$; tie však nie sú vlastné vektory pre $B$.) Sú tiež neizomorfné, lebo majú rôzne hodnoty charakterov (už $\chi(a)$ sú rôzne.)

Ešte by sme potrebovali nájsť 4 lineárne charaktery/jednorozmerné reprezentácie.

Pre nepárne $n$ máme $(-1)^n=-1$ a dostaneme tieto 4 jednorozmerné reprezentácie:
$$
\begin{array}{cc}
a & b \\\hline
1 & 1 \\
1 & -1 \\
-1 & i \\
-1 & -i
\end{array}
$$

Pre párne $n$ máme $(-1)^n=1$ a dostaneme:
$$
\begin{array}{cc}
a & b \\\hline
1 & 1 \\
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
-1 & -1
\end{array}
$$

Snáď ešte toľko, že pri hľadaní tých lineárnych charakterov/jednorozmerných reprezentácií sme nemuseli "hádať" - čísla v druhom stĺpci sú presne vlastné čísla matice $\begin{pmatrix}0&1\\\varepsilon^n&0\end{pmatrix}$, kde $\varepsilon=\pm1$.

[Martin Sleziak]

Exercise 18.3 Find the character table of G.

Keď poznáme všetky ireduciblné reprezentácie, tak z nich ľahko poskladáme ireducibilné charaktery.

Napríklad v párnom prípade stručne môžeme zapísať charaktery takto:

$$
\begin{array}{ccc}
a^k & b & ab \\\hline
1 & 1 & 1\\
1 & -1 & -1\\
(-1)^k & 1 & -1\\
(-1)^k & -1 & 1\\
\varepsilon^k+\varepsilon^{-k} & 0 & 0
\end{array}
$$

Triedy konjugácie by sme mohli zrátať aj z tabuľky charakterov - vieme, že dva prvky sú konjugované práve vtedy, keď majú rovnaké hodnoty pre všetky charaktery.