Pridám aj takúto linku: Finding the eigenvalues of $A^2$ and $A^{-1}$ from the characteristic polynomial of $A$.O matici $A$ nad poľom $\mathbb C$ máme zadané, že jej charakteristický polynóm je $\chi_A(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
a) Čomu sa potom rovnajú jej stopa a determinant?
b) Čomu sa rovnajú vlastné hodnoty a charakteristický polynóm matice $A^2$?
c) Zdôvodnite, že matica $A$ je regulárna. Nájdite vlastné hodnoty a charakteristický polynóm pre maticu $A^{-1}$.
Svoje tvrdenia zdôvodnite!
Táto úloha je do istej miery podobná - v tom, že z informácii o matici $A$ sa snažíme dostať charakteristický polynóm inej matice: Charakteristický polynóm matice $(A+I)^2$.
Riešenie.
Máme $\chi_A(x)=x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3)$. Teda matica $A$ má tri \emph{rôzne} vlastné hodnoty.
Pre stopu a determinant dostaneme
\begin{align*}
\operatorname{Tr}(A)&=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-1+2+3=4\\
\det(A)&=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=(-1)\cdot2\cdot3=-6
\end{align*}
Stopu a determinant sme si vedeli prečítať aj z koeficientov charakteristického polynómu.
Matica $A$ je regulárna, lebo nula nie je vlastná hodnota. (A vidíme to aj z toho, že $\det(A)\ne0$.)
Pre každú vlastnú hodnotu $\lambda_i$ matice $A$ máme vlastnú hodnotu $\lambda_i^2$ matice $A^2$, vlastnú hodnotu $\lambda_i^{-1}$ matice $A^{-1}$.
Alebo inak: Matica $A$ je podobná s diagonálnou maticou $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$. Teda $A^2$ je podobná s $D^2=\operatorname{diag}(\lambda_1^2,\lambda_2^2,\lambda_3^2)$. A inverzná matica $A^{-1}$ je podobná s $D=\operatorname{diag}(\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\lambda_3^{-1})$.
Pre charakteristické polynómy potom dostaneme
\begin{align*}
\chi_{A^2}(x)&=(x-1)(x-4)(x-9)=x^3-14x^2+49x-36\\
\chi_{A^{-1}}(x)&=(x+1)\left(x-\frac12\right)\left(x-\frac13\right)=x^3+\frac16x-\frac23x+\frac16
\end{align*}
Asi nás neprekvapí, že pre inverznú maticu sme dostali polynóm, kde sa vlastne iba vymenilo poradie koeficientov (a bolo ho treba ešte vynormovať):
$$\chi_{A^{-1}}(x)=\frac{x^3+x^2-4x+1}6.$$
Spoiler: