Najprv sem dám kópiu ich dôkazu; skúsil som tam aj zvýrazniť to miesto, ktoré je zrejme problematické.
Proposition 23.6$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}$
Let $V$ be a $\C G$-module with character $\chi$.
(1) The $\R G$-module $V_{\R}$ has character $\chi+\ol{\chi}$; in particular, $\dim V_{\R}= 2 \dim V$.
(2) If $V$ is an irreducible $\C G$-module and $V_{\R}$ is a reducible $\R G$-module, then $\chi$ can be realized over $\R$.
Proof We have already proved part (1).
For part (2), suppose that $V$ is an irreducible $\C G$-module and $V_{\R}$ is a reducible $\R G$-module. Then by part (1), $V_{\R}=U\oplus W$, where $U$ is an $\R G$-module with character $\chi$ and $W$ is an $\R G$-module with character $\ol{\chi}$. Thus there is an $\R G$-module, namely $U$, with character $\chi$, and so $\chi$ can be realized over $\R$.
To, čo píšem tu, je ako by som si ja myslel, že sa dá doplniť ten "skok" ich v dôkaze. (Tiež som dosť dlho na to pozeral, čo tam vlastne robia.)
Vieme, že $V_{\R}$ je reducibilný ako $\R G$-modul. To znamená, že $V_{\R}=U\oplus W$.
Teraz sa na $V_{\R}$ pozrime ako na $\C G$-modul. (To je ten prechod tým ľahším smerom, každý $\R G$-modul je automaticky aj $\C G$-modul.)
Aj keď sa na to pozeráme ako na $\C G$-moduly, tak máme tú istú rovnosť $V_{\R}=U\oplus W$ (toto si asi treba trochu rozmyslieť, že sa to nepokazí tým prechodom od $\R$ k $\C$) a samozrejme, $V_{\R}$ má ten istý charakter bez ohľadu na to, či ho chápem ako $\R G$-modul alebo $\C G$-modul. Takže máme nejaký $\C G$-modul s charakterom $\chi+\ol{\chi}$ a vieme, že $\chi$ aj $\ol{\chi}$ sú ireducibilné.
To znamená, že rozklad tohoto $\C G$-modulu na dva netriviálne $\C G$-podmoduly je možný jedine tak, že jeden z nich má charakter $\chi$ a druhý $\ol{\chi}$. Teda napríklad $U$ má charakter $\chi$ a $W$ má charakter $\ol{\chi}$.