Exercise 20.3 - $\chi(1)\le[G:H]$ ak $H$ je kom. podgrupa

[Martin Sleziak]

Exercise 20.3. Let $G$ be a group with an abelian subgroup H of index n. Prove that $\chi(1) \le n$ for every irreducible character $\chi$ of $G$.

Máme $\chi\downarrow H=d_1\psi_1+\dots+d_k\psi_k$ pričom vieme, že $d_1^2+\dots+d_k^n\le [G:H]=n$. Ďalej vieme, že $\psi_i(1)=1$, lebo ireducibilné charaktery abelovskej grupy sú jednorozmerné.

Spolu teda máme
$\chi(1)=\chi\downarrow H(1)=d_1+\dots+d_k \le d_1^2+\dots+d_k^2\le n$.