Definícia euklidovského okruhu

[jaroslav.gurican]

Okruh $(R,+,\cdot)$ nazývame euklidovský okruh, ak je obor integrity a existuje funkcia $g: R\setminus\{0\}\to \{0,1,2,\ldots\}$, ktoré má nasledujúce dve vlastnosti:

• pre $a,b\in R\setminus\{0\}$ je $g(a)\le g(ab)$ (t.j. - vďaka komutatívnosti - aj $g(b)\le g(ab)$)
• pre $a,b\in R$, $b\ne 0$ existujú také $q,r\in R$, že $a=qb+r$ a $r=0$ alebo $g(r)<g(b)$

Druhá podmienka na funkciu $g$ sa nazýva veta o delení so zvyškom. Funkciu $g$ nazývame zvyčajne ohodnotenie, alebo norma (v skriptách sa používa označenie $N(a)$ na rozdiel od mnou používaného označenia $g(a)$). Pripomínam, že $q,r$ nemusia byť určené jednoznačne, uviedol som príklad euklidovského okruhu $(Z,+,\cdot)$, kde $g(a)=|a|$ (absolútna hodnota) a napr. pre $a=7, b=5$ máme $7=1.5+2$, čiže $r=2$ ale aj $7=2.5-3$, kde $r=-3$.