msleziak.com

Úloha 6.1. Zistite, či dané vektory tvoria bázu v priestore $\mathbb Z_5^3$:
a) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,3)$
b) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$
c) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,0)$, $(1,3,1)$
d) $(0,1,3)$, $(2,1,1)$

a) Tvoria.
b) Netvoria.
c) Myslim, ze netvoria.
d) Netvoria.

a)
$\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& \\ 1& 1& 2& \\ 3& 1& 3& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& \\ 1& 1& 2& \\ 2& 0& 1& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& \\ 1& 0& 4& \\ 2& 0& 1& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& \\ 3& 0& 0& \\ 2& 0& 1& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& \\ 1& 0& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 0& \\ 1& 0& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& \\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}$

d(a) = 3

b)
$\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& \\ 1& 1& 2& \\ 3& 1& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& \\ 1& 1& 2& \\ 0& 3& 4& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& \\ 1& 1& 2& \\ 0& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 4& \\ 0& 2& 1& \\ 0& 0& 0& \end{pmatrix}$

c)
$\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& &1 \\ 1& 1& 2& &3 \\ 3& 1& 0& &1 \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& &1 \\ 1& 0& 4& &0 \\ 3& 1& 0& &1 \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& &1 \\ 1& 0& 4& &0 \\ 3& 0& 2& &3 \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& &1 \\ 1& 0& 4& &0 \\ 0& 0& 0& &3 \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& &1 \\ 1& 0& 4& &0 \\ 0& 0& 0& &1 \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 2& 1& &0 \\ 1& 0& 4& &0 \\ 0& 0& 0& &1 \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 2& 0& &0 \\ 0& 2& 1& &0 \\ 0& 0& 0& &1 \end{pmatrix}$

d)
$\ \begin{pmatrix} 0& 2& 0& \\ 1& 1& 0& \\ 3& 1& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 1& 0& \\ 1& 1& 0& \\ 2& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 1& 0& \\ 1& 1& 0& \\ 1& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& \\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& 0& \end{pmatrix}$

EDIT: Matice

JakubNovak72 wrote:a) Tvoria.
b) Netvoria.
c) Tvoria.
d) Netvoria.

Vypocty dotam hned ako zistim ako sem napisat maticu.

Matice: viewtopic.php?f=8&t=11

BTW koľko prvkov musí mať báza v tomto priestore? (Aká je dimenzia tohoto priestoru?)

Inak nezaškodilo by skopírovať aj zadanie - aby keď si budú vaše riešenie čítať ostatní videli, o akých vektoroch je reč a aká otázka sa vlastne rieši.

JakubNovak72 wrote: a) Tvoria.
b) Netvoria.
c) Myslim, ze netvoria.
d) Netvoria.

Teraz po oprave sú už odpovede správne. Bolo by však dobre, keby ste aj vysvetlili, čo tam vlastne počítate a ako na základe týchto výpočtov prídete na k záveru, či dané vektory tvoria/netvoria bázu.

Navyše časti c) a d) sa dajú vyriešiť veľmi jednoducho, bez toho, že by sme museli upravovať akékoľvek matice alebo riešiť sústavy. (Aká je dimenzia priestoru $\mathbb Z_5^3$? Ako nám pomôže, že vieme dimenziu?)

V a) som dostal RTM, co mi znaci, ze dane vektory su bazou priestoru.

V b) mi vysiel nulovy riadok a zo zvysnych 2 neviem vyjadrit vsetky vektory priestoru -> nie je to baza priestoru.

d($\mathbb Z_5^3$)=3.
V c) je d(c)=4.
V d) je d(d)=2.
To nam neuhlasi s priestorom v ktorom pocitame.

JakubNovak72 wrote:V a) som dostal RTM, co mi znaci, ze dane vektory su bazou priestoru.

V b) mi vysiel nulovy riadok a zo zvysnych 2 neviem vyjadrit vsetky vektory priestoru -> nie je to baza priestoru.

d($\mathbb Z_5^4$)=3.

Ak tomu rozumiem správne, tak sa odvolávate na to, že ak robíme riadkové úpravy v matici, tak nimi nezmeníme podpriestor určený riadkami matice. Takýto postup je úplne v poriadku, akurát že keby sme to chceli robiť tak, tak by sme zadané vektory poukladali do riadkov matice, ktorú upravujeme. Vy ste ich poukladali do stĺpcov.

Nesúvisí matica, ktorú ste takto dostali, nejako so sústavou rovníc, ktoré dostaneme, keď overujeme, či sú tieto vektory lineárne nezávislé? Povie nám to, čo ste vyrátali, niečo o riešeniach tejto sústavy? (Inak povedané: Vieme z toho, čo ste napísali, povedať niečo o závislosti/nezávislosti zadaných vektorov? To čo ste napísali, by hovorilo o niečo o vektoroch, ktoré sú riadkami vašej matice, čo nie sú tie isté vektory, čo boli zadané. Ale mali by ste byť schopný niečo dostať z toho, čo ste vyrátali - čiže netreba zobrať novú maticu, kde už budú tieto vektory ako riadky a prepočítavať to nanovo.)

JakubNovak72 wrote: V c) je d(c)=4.
V d) je d(d)=2.
To nam neuhlasi s priestorom v ktorom pocitame.

Inak povedané: Sme v priestor dimenzie 3, tak báza musí mať 3 prvky. Nemôžeme mať štvorprvkovú bázu ani dvojprvkovú bázu. (Neviem presne, čo myslíte zápisom d(c)=4, ale zrejme ste chceli povedať niečo zhruba takéto.)

Neviem presne, čo myslíte zápisom d(c)=4, ale zrejme ste chceli povedať niečo zhruba takéto.

Myslel som tym, ze dimenzia vysledku prikladu c) je 4.

Ak tomu rozumiem správne, tak sa odvolávate na to, že ak robíme riadkové úpravy v matici, tak nimi nezmeníme podpriestor určený riadkami matice. Takýto postup je úplne v poriadku, akurát že keby sme to chceli robiť tak, tak by sme zadané vektory poukladali do riadkov matice, ktorú upravujeme. Vy ste ich poukladali do stĺpcov.

Na cviku ste mi povedali, ze to mam davat do stlpcov.

Martin Sleziak wrote:

JakubNovak72 wrote:V a) som dostal RTM, co mi znaci, ze dane vektory su bazou priestoru.

V b) mi vysiel nulovy riadok a zo zvysnych 2 neviem vyjadrit vsetky vektory priestoru -> nie je to baza priestoru.

d($\mathbb Z_5^4$)=3.

Nesúvisí matica, ktorú ste takto dostali, nejako so sústavou rovníc, ktoré dostaneme, keď overujeme, či sú tieto vektory lineárne nezávislé? Povie nám to, čo ste vyrátali, niečo o riešeniach tejto sústavy? (Inak povedané: Vieme z toho, čo ste napísali, povedať niečo o závislosti/nezávislosti zadaných vektorov? To čo ste napísali, by hovorilo o niečo o vektoroch, ktoré sú riadkami vašej matice, čo nie sú tie isté vektory, čo boli zadané. Ale mali by ste byť schopný niečo dostať z toho, čo ste vyrátali - čiže netreba zobrať novú maticu, kde už budú tieto vektory ako riadky a prepočítavať to nanovo.)

V podstate som vychadzal z toho, ze ked mi vysla jednotkova RTM, tak su vektory LN -> su bazou priestoru.

JakubNovak72 wrote: Na cviku ste mi povedali, ze to mam davat do stlpcov.

Ok, to je síce pravda. Ale nejde len o to, že sa naučíme nejaký postup. (Na cviku sme to dali do stĺpcov a upravili, tak to spravím aj teraz a niečo s tým skúsim rátať, snáď z toho niečo dostanem...) Bolo by dobré aj rozumieť tomu, čo sme zistili a prečo to funguje. A práve k tomu som sa chcel dostať - vy ste povedali, že z vašich úprav vidno, že vektory sú závislé/nezávislé. A ja som sa pýtal na zdôvodnenie tohoto faktu.

Pozrime sa na prvý príklad. Máme vektory: $(0,1,3)$, $(2,1,1)$, $(1,2,3)$.
Pýtame sa, či sú lineárne nezávislé. Ak to zisťujeme z definície, tak overujeme, kedy
$c_1(0,1,3)+c_2(2,1,1)+c_3(1,2,3)=(0,0,0)$
$(2c_2+c_3,c_1+c_2+2c_3,3c_1+c_2+3c_3)=(0,0,0)$

Teda sme dostali vlastne sústavu rovníc
$\begin{align}
2c_2+c_3&=0\\
c_1+c_2+2c_3&=0\\
3c_1+c_2+3c_3&=0
\end{align}$

Na úpravy, ktoré ste robili, sa dá pozerať tak, že ste vlastne riešili túto sústavu (len ste ju mali zapísanú do matice). A zistili ste, že je ekvivalentná so sústavou troch rovníc: $c_1=0$, $c_2=0$, $c_3=0$. Teda jediné riešenie je nulové riešenie a vektory sú lineárne závislé.

V príklade b) sa na úpravy, ktoré ste dostali, dá pozerať tak, že ste dostali ekvivalentnú sústavu $c_1+4c_3=0$, $2c_2+c_3=0$. Pre túto sústavu vieme nájsť nenulové riešenie (zvolíme si $c_3$ a ostatné dorátame.) Teda potom sú tieto vektory lineárne závislé. (Ale oplatí sa aj tú sústavu naozaj dorátať - potom si človek môže robiť skúšku.)

*******************

Zdá sa, že vy ste chceli urobiť to, že vektory poukladáte do riadkov a upravíte maticu na redukovaný trojuholníkový tvar. (O ktorom sme ešte na prednáške nerobili.)

Áno, je pravda, že ak takto po úprave dostaneme rovnaký počet nenulových riadkov, ako som mal na začiatku, tak sú vektory lineárne nezávislé. V opačnom prípade sú závislé. (Ale tu sa odvolávame na niečo, čo sme ešte nepreberali. Dokonca z toho, čo sa budeme učiť neskôr, bude vidno aj to, že je v podstate jedno, či robíme s riadkami alebo so stĺpcami, stačí nám zistiť hodnosť matice. Každopádne by sme sa mali pokúsiť o riešenie, ktoré vieme zdôvodniť pomocou vecí, čo sme už prebrali.)

Ale aj z toho, čo sme už na prednáške mali, by mohli byť vidieť, či to je alebo nie je báza. Na základe podobného zdôvodnenia, ako som vám povedal v úlohe 6.3: Vieme povedať, že vektory v pôvodnej matici a výslednej matici generujú ten istý priestor. Z toho vieme zistiť, či zadané vektory generujú celý priestor. A teda aj či to je báza.

Dohodnime sa, že táto úloha bude za 0.5 bodu. Niečo ste zrátali, ale zdôvodnenie, ako na základe toho vieme odpovedať na zadanú otázku, som musel doplniť ja.

Len pre zaujímavosť si môžeme povedať, ako sa dá v tomto prípade (lebo zadané vektory sú vcelku jednoduché) dostať k riešeniu tak, že toho nemusíme priveľa počítať.
Máme vektory: $\vec\alpha=(0,1,3)$, $\vec\beta=(2,1,1)$, $\vec\gamma=(1,2,3)$.
Prvé dva z nich sú lineárne nezávislé. (Nedá sa jeden dostať ako násobok druhého.)
Teda už nám stačí zistiť iba to, či tretí môžeme dostať tretí vektor ako lineárnu kombináciu prvých dvoch.

Všimnime si, že v druhom vektore je druhá a tretia súradnica rovnaká. To isté platí aj pre ľubovoľný násobok tohoto vektora.
Teda ak urobíme lineárnu kombináciu $c_1\vec\alpha+c_2\vec\beta$, tak rozdiel tretej a druhej súradnice výsledného vektora ovplyvňuje iba koeficient pri prvom vektore. Konkrétne platí $x_3-x_2=2c_1$. (Lebo v prvom vektore je rozdiel týchto súradníc rovný dvom.)
Aby sme dostali $2c_1=1$ tak jediná možnosť je $c_1=3$.
Súčasne vidíme, že $2c_2$ je presne prvá súradnica výsledného vektora. (Lebo prvý vektor má na prvej súradnicu nulu.)
Opäť chceme dostať $2c_2=1$, čo sa dá iba pre $c_2=3$.
Teda ak sa $\vec\gamma$ dá dostať ako lineárna kombinácia prvých dvoch vektorov, jediná potenciálna možnosť je v tvare $3\vec\alpha+3\vec\beta$. Keď túto lineárnu kombináciu skutočne zrátame, tak vidíme, že na tretej súradnici dostaneme 2. Nemôžeme teda dostať vektor $\vec\gamma$ ako lineárnu kombináciu $\vec\alpha$ a $\vec\beta$, teda tieto vektory sú lineárne nezávislé.

********************

Rovnako sa dá uvažovať aj v časti b) pre vektory $\vec\alpha=(0,1,3)$, $\vec\beta=(2,1,1)$, $\vec\gamma=(1,2,0)$.
Rovnakou úvahou teraz dostaneme $2c_1=3$, $2c_2=$, čo nám dáva $c_1=4$, $c_2=3$.
Ľahko skontrolujeme, že naozaj platí $4\vec\alpha+3\vec\beta=\vec\gamma$.

Ok v poriadku. Dakujem za vysvetlenie.