msleziak.com

Úloha 9.5. Nájdite maticu zobrazenia $f\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^4$, ktoré spĺňa dané podmienky (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje):
$f(1,2,3)=(-2,3,1,3)$, $f(-3,1,-2)=(-1,-2,-10,-2)$, $f(1,1,2)=(-1,2,2,2)$ a $f$ je injektívne.


$\begin{pmatrix}1&2&3&|&-2&3&1&3\\-3&1&-2&|&-1&-2&-10&-2\\1&1&2&|&-1&2&2&2\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}0&1&1&|&-1&1&-1&1\\-3&1&-2&|&-1&-2&-10&-2\\1&1&2&|&-1&2&2&2\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}0&1&1&|&-1&1&-1&1\\-3&0&-3&|&0&-3&-9&-3\\1&0&1&|&0&1&3&1\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}0&1&1&|&-1&1&-1&1\\-1&0&-1&|& 0&-1&-3&-1\\1&0&1&|&0&1&3&1\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}1&0&1&|&0&1&3&1\\0&1&1&|&-1&1&-1&1\\0&0&0&|&0&0&0&0\end{pmatrix}$

$f$ nie je injektivna, lebo ma nekonecne vela zobrazeni.

JakubNovak72 wrote: $f$ nie je injektivna, lebo ma nekonecne vela zobrazeni.

Priznám sa, že nerozumiem, čo týmto chcete povedať.
Zatiaľ ste zistili, že ak lineárne zobrazenie spĺňa uvedené podmienky, tak určite musí platiť $f(1,0,1)=(0,1,3,1)$ a $f(0,1,1)=(-1,1,-1,1)$.
Otázka je, či existuje $f$, pre ktoré platia tieto dve podmienky a navyše je injektívne. (Vieme z prednášky nejaké podmienky o tom, kedy je lineárne zobrazenie injektívne?)

No z prednasky vieme, ze (dosledok vety) ak $f: F^n \to F^n$ je linearne zobrazenie, tak $f$ je injekcia prave vtedy, ked su vektory LN.

Vektory $f(1,0,1)=(0,1,3,1)$ a $f(0,1,1)=(−1,1,−1,1)$ su LN a $f: R^3 -> R^3$ je lin. zobrazenie.
Teda $f$ je injekcia.

JakubNovak72 wrote:No z prednasky vieme, ze (dosledok vety) ak $f: F^n \to F^n$ je linearne zobrazenie, tak $f$ je injekcia prave vtedy, ked su vektory LN.

Toto nie je veľmi presné. Aké vektory sú lineárne nezávislé?

JakubNovak72 wrote: Vektory $f(1,0,1)=(0,1,3,1)$ a $f(0,1,1)=(−1,1,−1,1)$ su LN a $f: R^3 -> R^3$ je lin. zobrazenie.
Teda $f$ je injekcia.

Ak tvrdíte, že každé zobrazenie, pre ktoré f(1,0,1)=(0,1,3,1)$ a $f(0,1,1)=(−1,1,−1,1)$, je lineárne nezávislé, tak to nie je pravda.
Vašou úlohou je nájsť aspoň jedno také zobrazenie (a jeho maticu).

Vektory $f(1,0,1)$ a $f(0,1,1)$ su LN.
Neviem co presne mam spravit, lebo "Ak f:Fn→Fn je linearne zobrazenie, tak f je injekcia prave vtedy, ked su vektory LN." je v podstate presne odpisane z prednasky a nic viac sme k tomu tusim nemali (k tomu ako vyzera inj, surj, bij zobrazenie v maticiach) ani na cviku.

JakubNovak72 wrote:Vektory $f(1,0,1)$ a $f(0,1,1)$ su LN.
Neviem co presne mam spravit, lebo "Ak f:Fn→Fn je linearne zobrazenie, tak f je injekcia prave vtedy, ked su vektory LN." je v podstate presne odpisane z prednasky a nic viac sme k tomu tusim nemali (k tomu ako vyzera inj, surj, bij zobrazenie v maticiach) ani na cviku.

Lineárne zobrazenie je injekcia práve vtedy keď obrazy bázových vektorov sú lineárne nezávislé.
Vektory (1,0,1), (0,1,1) netvoria bázu priestoru $\mathbb R^3$.

Takze ak si to doplnim napr vektormi $f(0,0,1)=(0,0,0,0)$ a $f(0,0,0)=(1,0,0,0)$, tak obrazy su LN a vektory(po uprave) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) tvoria bazu $R^3$.

JakubNovak72 wrote:Takze ak si to doplnim napr vektormi $f(0,0,1)=(0,0,0,0)$ a $f(0,0,0)=(1,0,0,0)$, tak obrazy su LN a vektory(po uprave) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) tvoria bazu $R^3$.

Ak $f$ je lineárne zobrazenie, tak zobrazuje nulový vektor na nulový vektor, teda určite nemôže platiť $f(0,0,0)=(1,0,0,0)$.
Ak si zvolíte $f(0,0,1)=(0,0,0,0)$, tak zobrazenie nebude injektívne, lebo $f(0,0,1)=f(0,0,0)=(0,0,0,0)$.

Ok, tak to teda skombinujem a doplnim si len $f(0,0,1)=(1,0,0,0)$.
$f(0,0,1)$ =/= $f(0,0,0)$
A vektory by mali byt nezavisle.

$f(1,0,0)=(-1,1,3,1)$, $f(0,1,0)=(−2,1,−1,1)$, $f(0,0,1)=(1,0,0,0)$

Mame bazove vektory a ich obrazy su linearne nezavisle.

Nie som si isty, ci mozem LN obrazov vektorov overit takto samostatne, ale pre istotu:

$\begin{pmatrix}-1&1&3&1\\-2&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&1&3&1\\0&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&0&4&0\\0&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&-1&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$

JakubNovak72 wrote: $f(1,0,0)=(-1,1,3,1)$, $f(0,1,0)=(−2,1,−1,1)$, $f(0,0,1)=(1,0,0,0)$

Možno by nebolo zlé vysvetliť, že odkiaľ ste dostali tieto hodnoty. (Tretiu ste si zvolili? Ako vyšli prvé dve?)

Áno, je pravda, že ak takto budú vyzerať obrazy vektorov zo štandardnej bázy, tak lineárne zobrazenie $f$ bude injektívne.
Overiť, či spĺňa ostatné podmienky vieme ľahko (skontrolujeme, kam sa zobrazia zadané vektory).

Aká bude teda odpoveď?
(Pôvodná úloha bola nájsť maticu nejakého zobrazenia, ktoré spĺňa zadané podmienky.)