Písomka ZS 2013/14 - zadania

Martin Sleziak · Post by **Martin Sleziak** » Tue Dec 10, 2013 9:35 am

Vo všetkých skupinách bola takáto poznámka: $\newcommand{\mfr}[1]{\mathfrak{#1}}\newcommand{\alnul}{\aleph_0}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}\newcommand{\sm}{\setminus}\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\emps}{\emptyset}$

Pri počítaní kardinality môžete využívať vzťahy $\mfr c=2^{\alnul}$, $\alnul=\alnul\cdot\alnul=\alnul+\alnul$ ako aj všetky identity, o ktorých sme dokázali na prednáške, že platia pre všetky kardinálne čísla. Ak budete potrebovať nejaké ďalšie pomocné vzťahy, treba ich dokázať.
Takisto môžete používať to, že poznáme kardinality množín $\mathbb N$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$.
Výsledok pri otázkach, kde odpoveďou má byť kardinálne číslo, sa očakáva v~tvare $\alnul$, $\mathfrak c$, $2^{\mathfrak c}$, $2^{2^\mathfrak c}$, a pod. T.j. nenechávajte tam nejaké nedokončené výrazy ako $\alnul.\mfr c$ a pod.

Skupina A

Zistite, či zložený výrok $[p\Ra (q\lor r)] \Lra [(p\Ra q) \lor (p\Ra r)]$ je tautológia.
Nech $\Zobr fXY$, $\Zobr gYX$ sú zobrazenia \tez $g\circ f=id_X$. Dokážte, že $f$ je injekcia.
Dokážte, že pre ľubovoľné množiny $A$ a $\{B_i; i\in I\}$ platí $A\cap (\bigcup_{i\in I} B_i)= \bigcup_{i\in I} (A\cap B_i)$.
Vypočítajte kardinalitu množiny $\Q^{\R}$ všetkých zobrazení z $\R$ do $\Q$.
Dokážte, že $2^{({\alnul}^\mfr c)}=\mfr c^{(\mfr c^\mfr c)}$.

Skupina B

Zistite, či zložený výrok $[p\Ra (q\land r)] \Lra [(p\Ra q) \land (p\Ra r)]$ je tautológia.
Nech $\Zobr fXY$, $\Zobr gYX$ sú zobrazenia \tez $g\circ f=id_X$. Dokážte, že $g$ je surjekcia.
Dokážte, že pre ľubovoľné množiny $A$ a $\{B_i; i\in I\}$, kde $I\ne\emptyset$, platí $A\cap (\bigcap_{i\in I} B_i)= \bigcap_{i\in I} (A\cap B_i)$.
Vypočítajte kardinalitu množiny $(\R\times\R)^{\N}$.
Dokážte $2^{\alnul}\cdot2^{\mfr c}={\mfr c}^{\mfr c}\cdot \alnul^{\alnul}$.

Skupina C

Zistite, či zložený výrok $[p\Ra(q\Lra r)] \Lra [(p\land q)\Lra (p\land r)]$ je tautológia.
Nech $\Zobr{g,h}XY$, $\Zobr fYZ$ sú zobrazenia. Dokážte, že ak $f$ je injekcia a platí $f\circ g=f\circ h$, tak $g=h$.
Dokážte, že pre ľubovoľné množiny $A$ a $\{B_i; i\in I\}$, kde $I\ne\emptyset$, platí $A\sm \bigcap\limits_{i\in I} B_i = \bigcup\limits_{i\in I}(A\sm B_i).$
Vypočítajte kardinalitu množiny $\mathbb C^{\N\times\N}$.
Dokážte $2^{(\mfr c^{\alnul})}\cdot{\alnul}^{\mfr c}=2^\mfr c$.

Skupina D

Zistite, či zložený výrok $[p \land (p\Ra q)] \Ra q$ je tautológia.
Nech $\Zobr f{X_1}{Y_1}$ a $\Zobr g{X_2}{Y_2}$ sú injekcie. Dokážte, že potom aj zobrazenie $\Zobr h{X_1\times X_2}{Y_1\times Y_2}$ definované predpisom $h(x_1,x_2)=(f(x_1),g(x_2))$ je injekcia.
Nech $\{A_i; i\in I\}$ a $\{B_i; i\in I\}$ sú množiny, pričom $I\ne\emps$. Dokážte, že platí rovnosť $\bigcap_{i\in I}(A_i\cap B_i)=(\bigcap_{i\in I} A_i) \cap (\bigcap_{i\in I} B_i)$.
Vypočítajte kardinalitu množiny $(\R\times\Q)^{\R}$.
Dokážte $\alnul^{(\alnul^{\mfr c})}=\mfr c^{(\mfr c^{\mfr c})}$.