Komplexné čísla

[Martin Sleziak]

Hovorili ste, že viacerí z vás nepoznáte komplexné čísla zo strednej školy, alebo o nich viete málo. Komplexné čísla sa vám budú hodiť tu ale aj na iných predmetoch.
Preto som navrhol, že by sme mohli niekedy spraviť konzultáciu či prednášku (akokoľvek to už nazveme) o komplexných číslach, kde by som vám o nich skúsil stručne niečo povedať. Odhadujem to najviac na 2-krát dve vyučovacie hodiny. Chcel by som tam povedať zhruba toľko, ako je v dodatku o komplexných číslach v tomto texte.
O presnom termíne sa dohodneme neskôr. Mne sa však hodí, aby sme o nich rozprávali až po tom, čo na prednáške preberiete pojem poľa.

[Martin Sleziak]

O presnom termíne sa dohodneme neskôr. Mne sa však hodí, aby sme o nich rozprávali až po tom, čo na prednáške preberiete pojem poľa.

Pripomeniem, že som vám kedysi sľúbil porozprávať niečo o komplexných číslach. Odhadoval by som to tak, že určite nebudem potrebovať viac ako štyri vyučovacie (45-minútové) hodiny.

Môj návrh na termín je dohodnúť sa na niektorý pondelok napríklad v čase od 14.00 alebo od 14.50. V rozvrhu by ste mali mať voľno, nemal by byť problém na ten čas zarezervovať nejakú miestnosť.

[Martin Sleziak]

Môj návrh na termín je dohodnúť sa na niektorý pondelok napríklad v čase od 14.00 alebo od 14.50. V rozvrhu by ste mali mať voľno, nemal by byť problém na ten čas zarezervovať nejakú miestnosť.

Ukázalo sa, že tento termín nevyhovuje, takže zatiaľ je stále otvorené, kedy presne sa stretneme a porozprávame o komplexných číslach.

Niektorí ste sa pýtali, čo a tam bude preberať. (Aby ste vedeli, či sú to veci, ktoré ovládate, alebo tam bude aj niečo nové.) Platí to, čo som napísal minule:

Chcel by som tam povedať zhruba toľko, ako je v dodatku o komplexných číslach v tomto texte.
O presnom termíne sa dohodneme neskôr. Mne sa však hodí, aby sme o nich rozprávali až po tom, čo na prednáške preberiete pojem poľa.

Môžem to ale ešte aj stručne zhrnúť takto - ak viete riešiť úlohy takého typu aké tu vymenujem, tak sa tam asi nedozviete nič nové:

• $(1+\sqrt 3i).(\sqrt 3+i)=$?
• Nájdite goniometrický tvar čísla $(1+i)(1-i)$.
• Nájdite komplexné riešenia rovnice a) $x^2-4x+13=0$; b) $x^2-(1+2i)x-3+i=0$. (T.j. kvadratické rovnice s reálnymi a komplexnými koeficientami.)
• Vyriešte rovnice: a) $z^2=\frac{1-3i}{1+3i}-\frac15+\frac35i$; b) $z^6=i$; c) $\frac{z^4}8+i\sqrt3=-1$; d) $z^4=1+i$. (T.j. rovnice tvaru $x^n=b$, kde $n$ je zadané prirodzené číslo a $b$ je zadané komplexné číslo.)
• Viete pomocou komplexných čísel dostať vzorec pre $\cos(x+y)$?

Ešte by som mal asi zdôrazniť aj to, že to bude iba prednáška, kde vám poviem nejaké veci o komplexných číslach a ukážem zopár príkladov.
Aby ste sa naučili komplexné čísla používať, budete si musieť skúsiť niečo prerátať aj samostatne. (Ale určite človeku, čo sa s komplexnými číslami nikdy nestretol, môže pomôcť ak o nich aspoň od niekoho počuje nejaké základné veci. Snáď to potom pôjde ľahšie, ako keby ste sa ich snažil naučiť sami.)

[Martin Sleziak]

Ukázalo sa, že tento termín nevyhovuje, takže zatiaľ je stále otvorené, kedy presne sa stretneme a porozprávame o komplexných číslach.

Napísal som mail aj tým dvom ľuďom, ktorí dostali na starosť dohodnúť termín konzultácií. Napíšem ale aj sem, že ako nový návrh som ponúkol utorok 16.30 v čase, keď sme mali pôvodne cviká.
Miestnosť F1-328 už medzičasom obsadil niekto iný, ale F1-247 vyzerá byť v rozvrhu stále voľná.
Dostal som už odpoveď, že poistným matematikom by to vyhovovalo.

[Martin Sleziak]

Takže dnes sme sa definitívne (aspoň dúfam) dohodli, že komplexné čísla budú najbližšie dva piatky (t.j. 24. a 31. októbra) ráno o 8.10.
Mala by byť voľná miestnosť M-XI, kde má podľa oficiálneho rozvrhu skupina 1MAT cviko z analýzy. Ak by náhodou nebola voľná táto miestnosť, tak v piatok ráno by nemal byť príliš veľký problém nájsť niekde voľnú miestnosť; ak by akvárium XI niekto obsadil, tak sa presunieme inde.

[Martin Sleziak]

Takže dnes sme sa definitívne (aspoň dúfam) dohodli, že komplexné čísla budú najbližšie dva piatky (t.j. 24. a 31. októbra) ráno o 8.10.
Mala by byť voľná miestnosť M-XI, kde má podľa oficiálneho rozvrhu skupina 1MAT cviko z analýzy. Ak by náhodou nebola voľná táto miestnosť, tak v piatok ráno by nemal byť príliš veľký problém nájsť niekde voľnú miestnosť; ak by akvárium XI niekto obsadil, tak sa presunieme inde.

Ok, až teraz som si uvedomil, že 31. októbra je rektorské voľno a zrejme vtedy asi väčšina z Vás pocestuje domov na sviatky. Takže 24. októbra platí a na tom ďalšom termíne sa dohodneme potom. (Asi ten ďalší piatok.)

[Martin Sleziak]

Ok, až teraz som si uvedomil, že 31. októbra je rektorské voľno a zrejme vtedy asi väčšina z Vás pocestuje domov na sviatky. Takže 24. októbra platí a na tom ďalšom termíne sa dohodneme potom. (Asi ten ďalší piatok.)

Dohodli sme sa, že s komplexnými číslami pokračujeme o dva týždne (7. novembra) - rovnaký čas, rovnaká miestnosť.
Dnes sme si stihli povedať:
* čo sú komplexné čísla, ako sa s nimi počíta
* algebraický a goniometrický tvar komplexných čísel a ako sa medzi nimi
* ako sa násobia dve komplexné čísla v goniometrickom tvare (Moivrova veta, $r_1(\cos \alpha+i\sin\alpha)\cdot r_2(\cos\beta+i\sin\beta) = r_1r_2(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))$).
Snažil som sa viac-menej pridŕžať toho, čo mám o komplexných číslach v tomto texte - dodatok B. Takže tam si to môžete pozrieť.
Navyše aj na stránke prednášajúceho je text, ktorý obsahuje aj nejaké základné vlastnosti komplexných čísel.

Nabudúce vlastne zostáva ukázať si riešenie nejakých rovníc, ktorých korene (prípadne aj koeficienty) sú komplexné čísla.

[Martin Sleziak]

Ešte aby boli jasné "pravidlá hry" tak by som asi mal napísať aj toto.
Na cvikách už budem odteraz brať komplexné čísla ako keby ste ich vedeli. (Vlastne tento semester by vám malo stačiť to, čo o nich bolo minulý piatok. Aj keď si ešte nejaké užitočné veci o komplexných číslach plánujeme povedať.)
T.j. môžu sa bežne vyskytnúť na písomkách, úlohách na cvičeniach, atď. (Kto s komplexnými číslami pracovať nevie, mal by si ich radšej pozrieť samostatne.)
Na najbližšej (veľkej polsemestrovej) písomke však určite nebudú.