Tu sú linky na komentáre k takej istej resp. podobnej úlohe z minulých rokov:
viewtopic.php?t=507
viewtopic.php?t=327
viewtopic.php?t=85
Dôkaz bez indukcie
Niektorí z vás ste postupovali tak, že ste sa vyhli indukcii, t.j. priamo ste dokazovali tvrdenie ako napríklad $B\cup\left(\bigcap\limits_{i\in I} A_i\right)=\bigcap\limits_{i\in I} (B\cap A_i)$. Potom prvá časť je špeciálny prípade pre $I=\{0,1,\dots,n\}$ a druhá časť je špeciálny prípad pre $I=\mathbb N$.
Proti takémuto riešeniu nemám žiadne výhrady. (A trochu ste si uľahčili život tým, že ste nemuseli každú časť tvrdenia dokazovať zvlášť.)
Dôkaz matematickou indukciou
Ak ste prvú časť dokazovali matematickou indukciou, tak sa hodilo dokázať ju v prvom kroku indukcie nielen pre jednu množinu, ale aj pre dve množiny. T.j. napríklad ak sa pozrieme na úlohu b), tak by ste najprv dokázali, že platí pre $n=0$, $n=1$:
$A_0\subseteq B_0$ $\Rightarrow$ $A_0\subseteq B_0$ (toto očividne platí)
$A_0\subseteq B_0$ $\land$ $A_1\subseteq B_1$ $\Rightarrow$ $A_0\cup A_1 \subseteq B_0\cup B_1$
Spoiler:
$\bigcup\limits_{i=0}^{n+1} A_i = \left(\bigcup\limits_{i=0}^{n} A_i\right) \cup A_{n+1} \overset{(*)}\subseteq \left(\bigcup\limits_{i=0}^{n} B_i\right) \cup B_{n+1} = \bigcup\limits_{i=0}^{n+1} B_i$
Všimnite si, že na mieste označenom hviezdičkou využívame okrem indukčného predpokladu aj to, že tvrdenie platí pre dve množiny. (Teda je dôležité, že sme už predtým overili aj prípad $n=1$.)
Konkrétne sme využili tvrdenie, že z $\bigcup\limits_{i=0}^{n} A_i\subseteq \bigcup\limits_{i=0}^{n} B_i$ a $A_{n+1}\subseteq B_{n+1}$ už vyplýva aj $\left(\bigcup\limits_{i=0}^{n} A_i\right) \cup A_{n+1} \subseteq \left(\bigcup\limits_{i=0}^{n} B_i\right) \cup B_{n+1}$, čo je presne tvrdenie zo zadanie pre prípad dvoch množín.
Veľa z vás odignorovalo fakt, že v indukčnom kroku ste potrebovali dokazovanú vlastnosť pre dve množiny. (Nestŕhal som za to body. Ale je treba, aby ste si uvedomili, že ste túto vec v odvodení použili. Možno ste ju brali ako semozrejmú. Niektorí z vás k tomuto kroku napísali nejaký stručný komentár.)
Matematickou indukciou dokážem len konečné veci
Jeden z dôvodov, prečo som sformuloval zadanie takýmto spôsobom, bol ten, aby ste si uvedomili čo sa dá dokázať matematickou indukciou a čo nie.
Matematickou indukciou dokážete, že nejaké tvrdenie platí pre každé prirodzené číslo. Určite sa nedá použiť argument, že "dosadíme $n=\infty$" a z matematickej indukcie potom máme aj platnosť druhej časti úlohy.
Potom by rovnaký argument fungoval aj pre tvrdenie: Množina $\mathbb N$ je konečná.
Indukciou ľahko dokážeme, že ak $\{0,1,2,\dots,n\}$ je konečná, tak aj $\{0,1,2,\dots,n+1\}$ je konečná.
Ak by som použil argument, ktorí sa vyskytoval v niektorých odovzdaných d.ú., tak by som teraz mohol prehlásiť, že pre $n=\infty$ dostávam, že aj množina $\mathbb N=\{0,1,2,\dots,\}$ je konečná.
Zápis pre zjednotenie
V niektorej d.ú. sa vyskytol zápis, že pre $n=0$ máme
$\bigcup A_0$ predstavuje niečo iné - definovali sme to ako zjednotenie všetkých množín patriacich do $A_0$. Teda ak by ste to chceli prepísať takýmto spôsobom, tak by správny zápis bol$\bigcup\limits_{i=0}^0 A_0 = \bigcup A_0 = A_0$.
$\bigcup\limits_{i=0}^0 A_0 = \bigcup \{A_0\} = A_0$.
Logické spojky vs. inklúzia
Už som viackát opakoval: Medzi množiny môžem písať množinové operácie (alebo tiež inklúziu). Medzi výroky môžem písať logické spojky.
Definícia inklúzie je:
$$A\subseteq B \Leftrightarrow (\forall x)(x\in A \Rightarrow x\in B).$$
V d.ú. sa vyskytol takýto zápis:
Tento zápis nedáva zmysel.$x\in(A_i\subseteq B_i) \Leftrightarrow x\in(A_i\Rightarrow B_i)$
$A_i\subseteq B_i$ nie je množina. Je to výrok, ktorý môže alebo nemusí platiť. Čiže písať, že nejaký prvok $x$ patrí do $A_i\subseteq B_i$ je niečo, čo sme vôbec nedefinovali.
A zápis $A_i\Rightarrow B_i$ už vôbec nedáva zmysel. Logickú spojku $\Rightarrow$ môžem napísať medzi dva výroky. Nie však medzi dve množiny.
Rada: Pokiaľ vám stále robia problém formálne zápisy, nebojte sa veci zapisovať slovne. (Často je to aj lepšie. Keď ale veci robíme na cviku či prednáške, tak sa snažím veci na tabuľu zapísať čo najstručnejšie a obkec môžem pritom porozprávať.)
Čiže kľudne môžete v úlohe písať: Chceme ukázať, že ak $x\in \bigcup\limits_{i\in I} A_i$, tak $x$ patrí aj do $\bigcup\limits_{i\in I} A_i$. Ak $x$ patrí do $\bigcup\limits_{i\in I} A_i$, znamená to, že pre niektoré $i$ platí $x\in A_i$. ....
Nemusíte sa snažiť, aby zápis úlohy, ktorú odovzdávate, bol iba reťazec symbolov, kde sú len logické spojky, kvantifikátory, atď.
Staršie komentáre
Poznámky k tejto d.ú. z minulých rokov:
viewtopic.php?t=347
viewtopic.php?t=86