Injektívne lineárne zobrazenie;

[Martin Sleziak]

Existuje lineárne zobrazenie $f\colon{\mathbb R^3}\to{\mathbb R^4}$ také, že $f(2,1,0)=(1,0,1,1)$ a $f(1,0,-1)=(0,1,1,1)$ a je navyše injektívne?
Ak áno, nájdite maticu aspoň jedného lineárneho zobrazenia s týmito vlastnosťami. Stručne zdôvodnite, prečo je vami navrhnuté zobrazenie injektívne.

[Martin Sleziak]

Riešiť sa to dalo takto: Pomocou úprav dostaneme
$\left(
\begin{array}{ccc|cccc}
2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|cccc}
0 & 1 & 2 & 1 &-2 &-1 &-1 \\
1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 &-2 &-1 &-1
\end{array}
\right)$
Tým sme zistili obrazy vektorov $(1,0,-1)$ a $(0,1,2)$.
Tieto vektory vieme doplniť na bázu napríklad vektorom $(0,0,1)$. Otázka je, či sa dá zvoliť obraz tohoto vektora, tak aby všetky 3 vektory boli lineárne nezávislé. (Podľa vety z prednášky je lineárne zobrazenie injektívne práve vtedy, keď obrazy bázových vektorov sú lineárne nezávislé.)
Môžeme zvoliť napríklad $(0,0,1,1)$. (Keď si všimnete pravú časť nasledujúcej matice, tak po výmene prvých dvoch riadkov je v stupňovitom tvare, čo znamená, že tieto vektory sú lineárne nezávislé.)

$\left(
\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 &-2 &-1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(
\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-2 &-3 &-3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}
\right)$

Matica zobrazenia, ktoré vyhovuje zadaným podmienkam, je
$\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 2 & 2 \\
1 &-2 &-3 &-3 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}
\right)$
(Samozrejme, nie je to jediná možnosť.)

Vieme urobiť skúšku - skontrolovať, kam sa zobrazia zadané vektory a pomocou určenia hodnosti matice overiť, či je zobrazenie naozaj injektívne. (Aby bolo injektívne, mala by hodnosť matice zobrazenia byť 3.)