msleziak.com

Skupina A

Nájdite determinant
$$D_n=
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 0 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 0 \\
\end{vmatrix}$$
t.j. determinant matice, kde diagonálne prvky sú rovné $0$ a všetky prvky mimo diagonály sú rovné $1$.

Skupina B

Nájdite determinant
$$D_n=
\begin{vmatrix}
0 & -1 & -1 & \ldots & -1 \\
-1 & 0 & -1 & \ldots & -1 \\
-1 & -1 & 0 & \ldots & -1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-1 & -1 & -1 & \ldots & 0 \\
\end{vmatrix}$$
t.j. determinant matice, kde diagonálne prvky sú rovné $0$ a všetky prvky mimo diagonály sú rovné $-1$.

Môžete sa skúsiť zamyslieť nad všeobecnejšou úlohou nájsť
$$D_n(a,b)=
\begin{vmatrix}
a & b & b & \ldots & b \\
b & a & b & \ldots & b \\
b & b & a & \ldots & b \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b & b & b & \ldots & a \\
\end{vmatrix}.$$

Mali by ste dostať $[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}$.

Riešenia písomkových úloh potom dostanete ako špeciálne prípady pre vhodnú voľbu $a$, $b$.

Skúsim napísať niečo k riešeniam. Samozrejme, ak máte nejaké nápady na iné riešenie, nejaké poznámky či otázky, tak tu je na ne priestor.

Všeobecné rady

* Oplatí sa pozerať, či mám v niektorom riadku veľa núl, viem vyrobiť riadok kde je veľa núl, viem vyrobiť nejaký "pekný" riadok.
* Ak už mám riadok, kde je veľa núl, môže sa oplatiť skúsiť Laplaceov rozvoj.
* Ak vyskúšam niekoľko prvých hodnôt (napríklad $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$), tak sa mi možno podarí uhádnuť výsledok. Stále potrebujem urobiť nejaké zdôvodnenie, ale už aspoň tuším, čo by som mal dostať. (Je mi jasné, že na písomke nie je priveľa času, ale vyrátať determinant $1\times1$ či $2\times2$ je vcelku ľahké. A ak sa niekomu podarilo odvodiť nejaký výsledok pre $D_n$ a tento výsledok nesedí už pre $n=1$ alebo $n=2$, tak aspoň príde na to, že niekde musí mať chybu.)

Riešenia úloh

Zadania v oboch skupinách sú veľmi podobné, pozrime sa napríklad na skupinu A.
(Malo by byť pomerne ľahko vidno, že ak vyriešime jednu z úloh, tak riešenie druhej bude $(-1)^n$-násobok.)

Ak si všimneme, že po pripočítaní všetkých ostatných riadkov k prvému dostaneme pomerne jednoduchý prvý riadok, môže nám to pomôcť:

$D_n=
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 0 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 0 \\
\end{vmatrix}$ $=
\begin{vmatrix}
n-1 & n-1 & n-1 & \ldots & n-1 \\
1 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 0 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 0 \\
\end{vmatrix}$ $=
(n-1)\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 0 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 0 \\
\end{vmatrix}$ $=
(n-1)\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
0 &-1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 &-1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots &-1 \\
\end{vmatrix}$ $=(n-1)(-1)^{n-1}$

Skúsme iný postup: Začnime takými úpravami, že od druhého riadku odčítame prvý, od tretieho druhý atď.
$D_n=
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0
\end{vmatrix}$ $=
\begin{vmatrix}
-1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots &-1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0
\end{vmatrix}$
Dostali sme maticu, kde máme pomerne veľa núl. Problémy nám robí posledný riadok. Pokúsme sa postupne vynulovať prvky v ňom.
$D_n=
\begin{vmatrix}
-1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots &-1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0
\end{vmatrix}$ $=
\begin{vmatrix}
-1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots &-1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & \ldots & 1 & 0
\end{vmatrix}$ $=
\begin{vmatrix}
-1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots &-1 & 1 \\
0 & 0 & 3 & \ldots & 1 & 0
\end{vmatrix}$ $=\dots=
\begin{vmatrix}
-1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots &-1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & n-1 & 0
\end{vmatrix}$ $=
\begin{vmatrix}
-1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots &-1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & n-1
\end{vmatrix}$ $=(n-1)(-1)^{n-1}$

Časté chyby

Ak ste vyskúšali prvých pár hodnôt (napríklad $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$) a z toho ste uhádli, ako vyzerá riešenie všeobecne, tak to je fajn, ale rozhodne to nie je zdôvodnenie toho, že to tak bude fungovať vždy. (Čiže bolo treba uviesť aj nejaký argument, ktorý funguje pre maticu $n\times n$.) V princípe by som to bol ochotný uznať ako úplné riešenie ak by ste pre tieto malé prípady použili vždy rovnaký postup a bolo by jasné, že taký postup bude fungovať aj pre maticu ľubovoľných rozmerov. Nie však ak ste tieto malé prípady riešili každý inak. (Ale aj tak som dal nejaké body tým z vás, čo správne zrátali aspoň tieto malé prípady - ukázali ste, že aspoň nejaké determinanty viete zrátať.)

Viacero ľudí tvrdilo, že $D_n=0$. Stačí si vyskúšať vyrátať determinanty $D_1$ a $D_2$, aby ste videli, že to nie je pravda.

Na náhradnej písomke bolo takéto zadanie:

Nájdite determinant
$$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n
\end{vmatrix},
$$
t.j. determinant matice rozmerov $n\times n$ takej, že $a_{ij}=\min\{i,j\}$.

Druhá skupina mala rovnaké zadanie, len boli povymieňané riadky/stĺpce. Determinant tam vyšiel rovnaký, pretože išlo o maticu, ktorá sa z tejto dostane párnym počtom výmen riadkov/stĺpcov. (Na tomto mieste by som asi mal trochu frflať, že ak na náhradnú písomku bolo treba nachystať dve skupiny, tak vás asi na cviku, kde sa písala písomka, chýbalo dosť veľa. Ale snáď stačí, že som na túto tému už frflal.)

Keď vyskúšame prvých pár hodnôt, zistíme, že $D_1=1$, $D_2=2-1=1$, $D_3=6+2+2-2-4-3=1$. Uvidíme, že všeobecne to bude $D_n=1$.

Dá sa vymyslieť veľa pomerne jednoduchých riešení.

Napríklad:
$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 & 3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n-1\\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 & 3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n-1\\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n-1
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 & 3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n-1\\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1
\end{vmatrix}=D_{n-1}$
Prvý determinant je nulový, lebo má dva rovnaké riadky.
(V podstate presne to isté viem dosiahnuť jednou riadkovou úpravou.)

Ak už vieme, že $D_n=D_{n-1}$ a $D_1=1$, tak sú jednoznačne určené všetky hodnoty.

Iné riešenie cez riadkové úpravy -- odčítať prvý riadok od všetkých ostatných:
$D_n=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
0 & 1 & 2 & \ldots & 2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 1 & 2 & \ldots & n-1
\end{vmatrix}=D_{n-1}$

Ešte inak cez riadkové úpravy (takto alebo podobne ste to viacerí vyriešili na písomke):
Odpočítať vždy od $k$-teho riadku $(k-1)$-vý riadok:
$D_n=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1
\end{vmatrix}=1$

Ďalšia možnosť je všimnúť si, že je to druhá mocnina matice, ktorej determinant je $\pm1$. Napríklad pre $n=4$ mám:
$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}^2=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix}
$
Podobne to zafunguje všeobecne.