Toto si zaslúži komentár ešte predtým, než sa dostanem k riešeniu úloh, lebo veľa ľudí, ktorí túto úlohu zrátali (úplne alebo aspoň sčasti) postupovalo tak, že najprv ste si nejako vyjadrili rovinu a priamku (parametricky alebo analyticky), pomocou týchto vyjadrení ste našli prienik (vyšiel jeden bod). A až potom ste sa pustili do toho, aby ste hľadali vyjadrenie tohoto bodu v tvare barycentrických kombinácií.
Takýto postup je úplne správny, ale zbytočne ste si skomplikovali situáciu - vôbec nebolo potrebné hľadať vyjadrenie roviny ABC a priamky DE. Ako hneď uvidíme, celá úloha je vlastne iba jednoduchá sústava rovníc.
Riešenie
Stačí si uvedomiť, že:
- Body v rovine ABC sú presne tie body, ktoré viem dostať ako barycentrické kombinácie A, B, C.
- Body na priamke DE sú presne tie body, ktoré viem dostať ako barycentrické kombinácie D, E.
Hľadám teda také body, ktoré sa dajú vyjadriť ako barycentrická kombinácia bodov A, B, C a súčasne ako barycentrická kombinácia bodov D, E.
Takto dostaneme podmienky $x_1+x_2+x_3=1$, $y_1+y_2=1$, $x_1A+x_2B+x_3C=y_1D+y_2E$.
Toto je vlastne sústava rovníc, ak nájdem jej riešenie, tak $x_1$, $x_2$, $x_3$ a $y_1$, $y_2$ sú hľadané koeficienty barycentrických kombinácií.
Riešenie sústavy:
$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 &-3 &-2 & 0 \\
1 & 2 & 1 &-5 &-4 & 0 \\
1 & 2 & 1 &-5 &-4 & 0 \\
1 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-3 &-2 &-1 \\
0 & 1 & 0 &-5 &-4 &-1 \\
0 & 1 & 0 &-5 &-4 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 &-3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 &-3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$
Zistili sme, že bod v prieniku je bod $3A-2C=-3D+4E$.
Môžeme sa presvedčiť, že obidve tieto barycentrické kombinácie dávajú bod $(-1,1,1,-1)$.