2.4.16 Prvky a, b aj ab majú rád 2

[ZuzanaHromcova]

Nech $G$ je grupa a $a,b \in G$ sú prvky také, že $a$, $b$ aj $ab$ majú rád 2. Dokážte, že $ab=ba$.

Keďže rád prvku $ab$ je 2, platí $(ab)(ab)=e$.
Keďže rád prvkov $a$, $b$ je 2, platí $(ab)(ba)$ = (asociatívnosť) = $a(bb)a$ = (rád prvku $b$ je 2) = $a(e)a$ = (neutrálny prvok) = $aa$ = (rád prvku $a$ je 2) = $e$.

Pretože $(ab)(ab) = e$ aj $(ab)(ba) = e$, platí $(ab)(ab)=(ab)(ba)$. Prenásobíme túto rovnosť zľava prvkom grupy $(ab)^{-1}$ a dostaneme $(ab)^{-1} (ab)(ba) = (ab)^{-1} (ab)(ab)$, teda $((ab)^{-1} (ab))(ba) = ((ab)^{-1} (ab))(ab)$ a preto $ab=ba$.

$\square$

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod. JG.

Nestačí v poslednej časti vykrátiť $ab$?