Kvadratická forma $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3$

[Martin Sleziak]

Úloha previesť kvadratickú formu $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3$ na diagonálny (prípadne kanonický) tvar sa objavila v PÚ aj v sade úloh ku výberovému cviku.

Doplnením na štvorec
Pretože sa nedá hneď dopĺňať na štvorec, začneme pomocnou substitúciou, aby sme tam nejaké štvorce dostali.

$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{(x_1+x_2)^2}4-\frac{(x_1-x_2)^2}4+(x_1+x_2)x_3=y_1^2-y_2^2+2y_1y_3$$
pre $y_1=\frac{x_1+x_2}2$, $y_2=\frac{x_1-x_2}2$, $y_3=x_3$. (Inak: $x_1=y_1+y_2$, $x_2=y_1-y_2$.)
$$y_1^2-y_2^2+2y_1y_3=(y_1+y_3)^2-y_2^2-y_3^2=z_1^2-z_2^2-z_3^2$$
pre $z_1=y_1+y_3=\frac12x_1+\frac12x_2+x_3$, $z_2=\frac12x_1-\frac12x_2$, $z_3=y_3=x_3$.

Môžeme skontrolovať, že
$$\begin{multline*}
\left(\frac12x_1+\frac12x_2+x_3\right)^2-\left(\frac12x_1-\frac12x_2\right)^2-x_3^2=\\
\left(\frac{x_1^2}4+\frac{x_2^2}4+x_3^2+\frac{x_1x_2}2+x_1x_3+x_2x_3\right)-
\left(\frac{x_1^2}4+\frac{x_2^2}4-\frac{x_1x_2}2\right)-x_3^2=\\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3
\end{multline*}$$

Dostali sme kanonický tvar a transformáciu premenných. Pozrime sa aj na maticovú rovnosť, ktorú pri tejto zámene premenných dostaneme.

Zmenu premenných môžeme zapísať tak, že $(z_1,z_2,z_3)=(x_1,x_2,x_3)P$ pre
$$P=
\begin{pmatrix}
\frac12 & \frac12 & 0 \\
\frac12 &-\frac12 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Malo by platiť $\vec zD\vec z^T=\vec xPDP^T \vec x^T=\vec xA\vec x^T$, t.j. $PDP^T=A$. Skutočne
$$
\begin{pmatrix}
\frac12 & \frac12 & 0 \\
\frac12 &-\frac12 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 \\
0 & 0 &-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac12 & \frac12 & 1 \\
\frac12 &-\frac12 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac12 & \frac12 & 0 \\
\frac12 &-\frac12 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac12 & \frac12 & 1 \\
-\frac12 & \frac12 & 0 \\
0 & 0 &-1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & \frac12 & \frac12 \\
\frac12 & 0 & \frac12 \\
\frac12 & \frac12 & 0
\end{pmatrix}
$$

Pomocou riadkových a stĺpcových operácií

$\begin{pmatrix}
0 & \frac12 & \frac12 \\
\frac12 & 0 & \frac12 \\
\frac12 & \frac12 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
\frac12 & \frac12 & 1 \\
\frac12 & 0 & \frac12 \\
\frac12 & \frac12 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & \frac12 & 1 \\
\frac12 & 0 & \frac12 \\
1 & \frac12 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & \frac12 & 1 \\
0 &-\frac14 & 0 \\
0 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 &-\frac14 & 0 \\
0 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 &-\frac12 & 0 \\
0 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 \\
0 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim
$

$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
-\frac12 & \frac12 & 0 \\
-1 &-1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
-1 &-1 & 1
\end{pmatrix}
$

Pre $Q=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
-1 &-1 & 1
\end{pmatrix}$ máme
$$\begin{multline*}
QAQ^T=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
-1 &-1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & \frac12 & \frac12 \\
\frac12 & 0 & \frac12 \\
\frac12 & \frac12 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 \\
1 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=\\=
\begin{pmatrix}
\frac12 & \frac12 & 1 \\
\frac12 &-\frac12 & 0 \\
0 & 0 &-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 \\
1 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 \\
0 & 0 &-1
\end{pmatrix}
\end{multline*}$$

Môžeme si tiež všimnúť, že $Q=P^{-1}$.