Kvadratická forma $x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2$

[Martin Sleziak]

Chceme upraviť $x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2$ na kanonický tvar.

Doplnením na štvorec.

$x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2=(x_1+x_2)^2+(x_2+2x_3)^2+x_3^2$

$P=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}$

$PP^T=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&2\\0&2&5\end{pmatrix}$

Pomocou riadkových a stĺpcových úprav

$\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&2\\0&2&5\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&2\\0&2&5\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\2&-2&1\end{pmatrix}$

[Martin Sleziak]

Ak by nás zaujímal iba kanonický tvar (t.j. nepotrebovali by sme transformáciu premenných), tak v tomto konkrétnom príklade by sme mohli overiť, že matica je kladne definitná pomocou Sylvestrovho kritéria.

$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 2 \\
0 & 2 & 5
\end{pmatrix}
$

$D_1=1$,
$D_2=
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{vmatrix}=1$,
$D_3=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 2 \\
0 & 2 & 5
\end{vmatrix}=10-5-4=1$

Hlavné minory sú kladné, teda matica je kladne definitná a kanonický tvar musí byť $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.

Takýto argument zafunguje iba pre kladne definitné matice. (A navyše sme našli iba kanonický tvar - ak chceme aj transformáciu premenných, musíme úlohu riešiť nejako inak.)

Dá sa dokázať však aj o čosi všeobecnejšie tvrdenie - ak sú rohové determinanty nenulové, tak z ich znamienok sa dá určiť kanonický tvar. (Môžem sa mýliť, ale na tejto prenáške ste tento výsledok asi nepreberali.)

Skopírujem tvrdenie 2.3.4 z http://msleziak.com/vyuka/2014/alg3/alg3.pdf (Tento výsledok sa určite dá nájsť aj vo veľa iných zdrojoch, ale tento mám poruke.)

Nech $A$ je symetrická reálna matica typu $n\times n$ taká, že všetky rohové determinanty
\begin{gather*}
D_1=|a_{11}|\\
D_2=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}\\
\vdots \\
D_n=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\end{gather*}
sú nenulové.

Potom matica $A$ je kongruentná s diagonálnou maticou
$\operatorname{diag}(D_1,D_2/D_1,D_3/D_2,\dots,D_n/D_{n-1})$.

Determinanty podmatíc vystupujúce v tomto tvrdení sa niekedy zvyknú nazývať aj hlavné minory matice $A$.

Aj ak máme toto tvrdenie, tak stále platí to, čo som napísal vyššie: Takto by sme vedeli zistiť kanonický/diagonálny tvar, nedostali by sme však transfomáciu premenných, ktorá kvadratickú formu na tento tvar prevedie.