Prednášky ZS 2015/16

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (24.9.)
Veta o delení so zvyškom. Deliteľnosť. Najväčší spoločný deliteľ a jeho základné vlastnosti. (V texte v prednáške sme došli po lemu 2.1.11 - posledné dve časti z nej som už nestihol, nechal som vám ich na rozmyslenie. Nehovorili sme o tom, ako sa dajú vyrátať čísla spĺňajúce Bézoutovu identitu - ak si potrebujete pripomenúť rozšírený Euklidov algoritmus, nejaké odkazy nájdete tu.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška (1.10.):
Dokončili sme veci týkajúce sa n.s.d. Povedali sme si základné veci o prvočíslach a dokázali základnú vetu algebry.
Ukázali sme, že v množine prvočísel existujú ľubovoľne dlhé medzery. Spravili sme jeden dôkaz toho, že prevrátený rad prvočísel diverguje. (Ešte tento fakt chceme ukázať aj iným spôsobom na ďalšej prednáške.)

Využívali sme fakt, že rad $\sum\frac1{n^2}$ konverguje. (Čo sa dá ukázať pomerne ľahko.) Ak vás zaujíma dôkaz toho, že presná hodnote tejto sumy je $\pi^2/6$, tak nejaký dôkaz je v texte prednáške (v dodatku) - je to dôkaz pomocou Fourierových radov. V literatúre sa dá nájsť veľa ďalších dôkazov, nejaké odkazy nájdete tu.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (8.10.):
Rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje. Ukázali sme si ďalšie dva dôkazy.
Prvočíselná funkcia a prvočíselná veta. Sformulovali sme prvočíselnú vetu. Ako príklad jej použitia sme ukázali, že množina $\{p/q; p,q\in\mathbb P\}$ je hustá v $(0,\infty)$.

[Martin Sleziak]

4. prednáška. (15.10.)
Prvočíselná funkcia. Dokázali sme Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme odhad na n-té prvočíslo: $an\ln n<p_n<bn\ln n$.
Čebyševova funkcia. Odvodili sme asymptotický vzťah prvočíselnej funkcie a Čebyševovej funkcie.

[Martin Sleziak]

5. prednáška. (22.10.)
Bertrandov postulát. Dokázali sme Bertrandov postulát.
Prvočísla špeciálneho tvaru a niektoré otvorené problémy. Povedali sme si niečo o prvočíslach v aritmetických postupnostiach, o prvočíselných dvojčatách, o Fermatových prvočíslach.
(Nestihol som povedať nič o Mersennových prvočíslach, môžete si o nich prečítať v texte k prednáške, prípadne niečo spomeniem na začiatku budúcej prednášky.)

[Martin Sleziak]

6. prednáška (29.10):
Stihli sme definíciu a základné vlastnosti kongruencií. (V podstate sme prešli časť 3.1.1 z textu.)

Nejaký čas som kecal o pojme kongruencia v trochu inom, ale veľmi príbuznom, zmysle. Konkrétne o kongruenciách v grupách a okruhoch, ktoré úzko súvisia s normálnymi podgrupami resp. ideálmi. (Máme vlastne 3 rôzne pohľady, ako sa dá pozerať na normálne podgrupy. Okrem definície sa na ne dá pozerať ako na jadrá homomorfizmov a tiež máme jedno-jednoznačnú korešpondenciu medzi grupami a kongruenciami. Podobne je to s ideálmi v okruhoch a okruhovými kongruenciami.)

Na konci som ešte skúsil ukázať pomocou Fourierových radov, že $\sum^\infty_{k = 1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$.
Odkazy na nejaké iné dôkazy tohoto faktu nájdete tu: viewtopic.php?f=20&t=65

[Martin Sleziak]

7. prednáška (5.11.):
Lineárne kongruencie. Veta o tom, kedy existuje riešenie, aký je počet riešení, ako ich nájsť. Vyriešili sme aj jeden konkrétny príklad a na ňom zopakovali aj rozšírený Euklidov algoritmus. (Zápis Euklidovho algoritmu pomocou tabuľky nemám v tých poznámkach, čo som vám dal - niekedy by som to tam mal dopísať. Ak si to niekto chce pozrieť, opäť pridám rovnakú linku, ktorú som sem už raz v súvislosti s Euklidovým algoritmom dal.)
Čínska veta o zvyškoch. Urobili sme dva dôkazy čínskej vety o zvyškoch. Nestihol som ukázať konkrétny príklad - ten spravím nabudúce.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (12.11.):
Čínska veta o zvyškoch. Na konkrétnom príklade sme si ukázali oba postupy z dôkazov.
Aritmetické funkcie. Multiplikatívne a úplne multiplikatívne funkcie - definícia, základné vlastnosti. Ak $f$ je multiplikatívna, tak aj $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna. (Na dôkaz sme potrebovali lemu 2.1.13, ktorú som pri prednášaní prvej kapitoly preskočil, tak sme sa vrátili aj k tej.)
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Vyjadrenie týchto funkcií z kanonického rozkladu.
Na konci sme odbočili k otázke, či zloženie multiplikatívnych funkcií je opäť multiplikatívna - podarilo sa nám nájsť kontrapríklad.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (19.11.)
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Charakterizácia párnych dokonalých čísel. (Nerobil som časť o nepárnych dokonalých číslach. Takisto ani to, ako sa $d(n)$ a $\sigma(n)$ funkcie správajú pre veľké $n$.)
Eulerova funkcia. Zadefinovali sme funkciu $\varphi(n)$ a dokázali, že je multiplikatívna.
Malá Fermatova veta. Ukázali sme si dôkaz malej Fermatovej vety. (Nerobil som "algebraický" dôkaz, ktorý sme však videli všeobecnejšie pri Eulerovej vete. V poznámkach je ešte jeden kombinatorický dôkaz, ktorý som nerobil.)
Eulerova veta. Urobili sme tri dôkazy Eulerovej vety.

V podstate sa vám môže oplatiť pozrieť na dôkazy Malej Fermatovej vety, ktoré sme preskočili. Jednak sú celkom pekné. Navyše budete mať výhodu, že ak budem od vás na skúške chcieť dôkaz tejto vety, tak budete poznať viacero možností, ako ich dokazovať.