msleziak.com

Úloha 1.1. Dokážte: Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.

Dokazovať budeme sporom. Nech $X$ je definičným oborom zobrazenia $f$. Povedzme si, že $f$ nie je injektívne, teda exisujú nejaké $x, y \in X$ pre ktoré platí, že $x \neq y$ a zároveň $f(x) = f(y)$. Potom ale aj $g(f(x)) = g(f(y))$, čo je v spore s tvrdením, že $g \circ f$ je injektívne. Z toho vyplýva, že $f$ je tiež injektívne.

Trochu som upravil názov topicu, aby tam nebolo len číslo úlohy. (Ak bude niekto hľadať tento príklad, tak sa mu ľahšie nájde, ak názov trochu aj popisuje, o čom tam ide.)

Takisto som skopíroval zadanie úlohy - aby ho vaši kolegovia nemuseli hľadať a vedeli, čo sa dokazuje.

Riešenie je ok, značím si 1 bod.

Poznamenám, že bez veľkej námahy by sa dal váš postup upraviť z dôkazu sporom na priamy dôkaz. (Nie že by bolo niečo zlé na dôkaze sporom. Ak je však priamy dôkaz zhruba rovnako ťažký, tak možno je lepšie použiť priamy dôkaz.) Alebo by sa z vášho dôkazu dal vcelku ľahko urobiť dôkaz obmenenej implikácie.

Priamy dôkaz podobný na váš by mohol vyzerať napríklad zhruba takto:
$x\ne y$ $\Rightarrow$ $g(f(x))\ne g(f(y))$ $\Rightarrow$ $f(x)\ne f(y)$
Alebo:
$f(x)=f(y)$ $\Rightarrow$ $g(f(x))=g(f(y))$ $\Rightarrow$ $x=y$.

To, čo som napísal, má samozrejme ďaleko od detailného dôkazu. Nechávam na rozmyslenie pre vás aké zdôvodnenie by sa malo napísať na miestach, kde som napísal symbol $\Rightarrow$. A tiež aký záver sa dá z toho usúdiť. (T.j. čo sme vlastne dokázali a či to je to, čo sme chceli.)

Pridám linku na riešenie tej istej úlohy, keď bola zadaná v minulosti: viewtopic.php?t=306