Úlohy ZS 2015/16

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem zverejňovať úlohy, za ktorých vyriešenie na fóre môžete získať nejaké body navyše. (Nezaručujem, že sa objavia nové úlohy každý týždeň. Obvykle sa úlohy objavia po cviku, na ktorom sme preberali danú tému.)

• Za riešenia úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov. Za správne riešenie úlohy sa dá získať 1 bod.
• Ak niekto začne riešiť úlohu a riešenie bude nesprávne (alebo čiastočne nesprávne), stále má možnosť ju opraviť - podľa možnosti teda nechajte kolegov doriešiť úlohu a svoje riešenie tej istej úlohy pošlite až vtedy, ak explicitne napíše, že už v riešení neplánuje pokračovať alebo keď už má svoje riešenie obodované.
• Keď budete posielať riešenie nejakej úlohy, začnite samostatný topic a do názvu dajte číslo úlohy. (Rozumné je v nadpise aj nejako stručne popísať úlohu.) Zadanie úlohy sa dá ľahko skopírovať, keď kliknete na quote.

Úmysel je zhruba ten, že je lepšie, keď vám prípadné chyby vytknem v riešení, ktoré tu zverejníte, ako na písomke alebo na skúške.

Ak sa tu objaví nejaké riešenie a bude vám v ňom niečo nejasné, tak sa neváhajte pýtať.

Počítajte s tým, že riešenia úloh dám časom preč (niekedy po skončení skúškového) - aby mohli podobné zadania znovu riešiť vaši kolegovia, ktorých budem učiť ten istý predmet. Čiže ak si vaše riešenia chcete odložiť, treba to urobiť niekedy do konca skúškového.)

Nejaký základný help k tomu, ako písať matiku, je tu. Pre človeka, ktorý v živote nerobil s TeX-om môže zabrať nejaký čas, kým sa naučí základy. Každopádne - aj ak sa budete vyhýbať TeX-u - snažte sa písať tak, aby to bolo čitateľné.

[Martin Sleziak]

Úloha 1.1. Nech $f\colon X\to Y$ je surjekcia a ${g,h}\colon Y\to Z$ sú zobrazenia. Dokážte, že ak $g\circ f=h\circ f$, tak $g=h$.

Úloha 1.2. Nech $f\colon Y\to Z$ je injekcia a ${g,h}\colon X\to Y$ sú zobrazenia. Dokážte, že ak $f\circ g=f\circ h$, tak $g=h$.

[Martin Sleziak]

Veľmi dlho som sem nič nedal (za čo sa ospravedlňujem). Tak to skúsim aspoň trochu dobehnúť.

Binárne operácie, grupy

Úloha 2.1 Uvažujme zobrazenia ${f_1,\dots,f_6}\colon\mathbb R\to\mathbb R$ definované predpismi
$$\begin{align*}
f_1(x)&=x, && f_2(x)=1-x, && f_3(x)=\frac{1}{x}\\
f_4(x)&=\frac{1}{1-x}, && f_5(x)=1-\frac{1}{x}, && f_6(x)=\frac{x}{x-1}
\end{align*}$$
Ukážte, že $G=(\{f_1,\dots,f_6\},\circ)$ je grupa a vyplňte tabuľku grupovej operácie. Je táto grupa komutatívna?


Úloha 2.2 Zistite, či $(\mathbb R^+\times\mathbb R, \square)$, kde pre každé $(a,b),(c,d)\in\mathbb R^+\times\mathbb R$ definujeme $(a,b)\square(c,d)=(2ac,b+d)$, je grupa.

EDIT: Úloha 2.2 sa objavila na písomke a riešenie je zverejnené na fóre - už sa za ňu teda nedajú získať body.

Podgrupy, homomorfizmy

Úloha 2.3 Nech $f\colon G\to H$ je homomorfizmus grúp. Dokážte, že pre $a,b\in G$ platí
$$f(a)=f(b) \Leftrightarrow ab^{-1}\in H.$$

Úloha 2.4 Ukážte, že grupy $(\mathbb R,+)$ a $(\mathbb R^*,\cdot)$ nie sú izomorfné.

Úloha 2.5 Nech $G$ je grupa a $g\in G$. Ukážte, že zobrazenie $f_g \colon G \to G$ definované predpisom $f_g(a)=gag^{-1}$ je izomorfizmus.

Relácie ekvivalencie, faktorové grupy

Úloha 2.6 Nech $R_1$, $R_2$ sú relácie ekvivalencie na množine $M$. Je potom $R_1\cap R_2$ tiež relácia ekvivalencie na množine $M$? (Dokážte alebo nájdite kontrapríklad.) Ako to bude s reláciou $R_1\cup R_2$?

Úloha 2.7 Ukážte, že faktorová grupa $G/H$ pre $G=(\mathbb Z\times\mathbb Z\times\mathbb Z,+)$ a $H=\{(n,m,0); n,m\in\mathbb Z\}$ je izomorfná s grupou $(\mathbb Z,+)$.

Úloha 2.8 Ukážte, že faktorová grupa $G/H$ pre $G=(\mathbb C,+)$ a $H=(\mathbb R,+)$ je izomorfná s $(\mathbb R,+)$.

Ešte pridám niečo - nech máte viac možností získať body.

Úloha 2.9 Nech $(G,*)$ a $(H,\circ)$ sú grupy. Dokážte, že potom aj $G\times H$ s operáciou definovanou ako
$$(g_1,h_1)\cdot(g_2,h_2)=(g_1*g_2,f_1\circ h_2)$$
tvorí grupu.

Úloha 2.10 Nech $G$ je grupa a $H_1,H_2$ sú podgrupy grupy $G$. Dokážte, že $H_1\cup H_2$ je podgrupa práve vtedy, keď $H_1\subseteq H_2$ alebo $H_2\subseteq H_1$.

[Martin Sleziak]

Úloha 3.1. Nech $G$ je konečná komutatívna grupa a $H$ je je podgrupa. Dokážte, že počet prvkov grupy $G$ je celočíselný násobok počtu prvkov podgrupy $H$. Stručne povedané: $|H|$ je deliteľ $|G|$. (Hint: Zamyslite sa nad tým, čo viete povedať o počtoch prvkov jednotlivých tried rozkladu $G$ podľa $H$.)

Tvrdenie z tejto úlohy je užitočné v tom, že nám dáva obmedzenie na možné veľkosti podgrúp. (Napríklad 15-prvková grupa nemôže mať 10-prvkovú podgrupu.) Tvrdenie platí aj pre nekomutatívne grupy. Keďže vy ste sa učili o faktorizácii iba pre komutatívne grupy, tak som zadanie sformuloval takto. (NA riešenie tejto úlohy máte v podstate pripravené prostriedky.)

[Martin Sleziak]

Úloha 4.1
Zistite, či zadané matice nad poľom $\mathbb Z_5$ sú riadkovo ekvivalentné:
$$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
1 & 2 & 2 & 4
\end{pmatrix} \qquad\text{a}\qquad
B=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$

Úloha 4.2
Zistite aká je dimenzia $\dim S$ zadaného podpriestoru vektorového priestoru $\mathbb R^4$. Nájdite taký podpriestor, pre ktorý
$S=[(1,1,-1,2),(0,1,1,3),(1,-1,-1,0)]$.
Nájdite podpriestor $T$ taký, že $S\oplus T=\mathbb R^4$. (A zdôvodnite, prečo to platí.)
Je podpriestor $T$ touto podmienkou jednoznačne určený, alebo existuje viacero možností?

Úloha 4.3
Vypočítajte hodnosť zadanej matice v závislosti od parametra $c\in\mathbb R$:
$\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c-1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 &-1 &-c
\end{pmatrix}$

Úloha 4.4
Vypočítajte hodnosť zadanej matice v závislosti od parametra $c\in\mathbb R$:
$\begin{pmatrix}
1 & c+1 & c-1 \\
0 & 1 &-c \\
c &-1 &-c
\end{pmatrix}$

Úloha 4.5
Pre dané podpriestory $S$, $T$ priestoru $\mathbb R^4$ nájdite dimenziu a bázu priestorov $S+T$ a $S\cap T$:
$S=[(2,1,1,2),(1,3,3,1),(1,2,2,1)]$, $T=[(1,2,-1,2),(1,0,1,2),(0,1,1,2)]$.

[Martin Sleziak]

Úloha 5.1 Nájdite maticu zobrazenia $f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^4$ takého, že $\operatorname{Ker}f=(1,0,1)$ a $f(-1,1,1)=(-1,0,1,0)$ a $f(1,1,2)=(0,1,1,1)$. (Existuje také zobrazenie? Je zobrazenie $f$ týmito podmienkami jednoznačne určené?)

Úloha 5.2 Nájdite maticu aspoň jedného lineárneho zobrazenia $f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^4$ takého, že $\operatorname{Im}f=[(1,1,1,1),(1,0,1,0),(0,0,1,1)]$, $f(1,1,0)=(0,1,1,2)$ a $f(-1,1,1)=(1,1,0,0)$. (Zdôvodnite, prečo zobrazenie, ktoré ste našli, vyhovuje týmto podmienkam.)

Úloha 5.3 Ak $A$ je matica taká, že $A^4=I$, ukážte, že $I+A$ je regulárna matica a nájdite inverznú maticu $A^{-1}$.
Dá sa toto tvrdenie nejako zovšeobecniť pre $A^n=I$.

Úloha 5.4 Nájdite množinu riešení daného systému v závislosti od parametra $\lambda\in\mathbb R$.
$$
(4-\lambda)x_1+2x_2-x_3=1\\
2x_1+(1-\lambda)x_2+2x_3=2\\
-x_1+2x_2+(4-\lambda)x_3=1
$$